经典之打印沙漏-数学分析-C/C++

打印沙漏

打印沙漏的这道问题可以说是经典之极，从我学程序设计、到学数据结构、以及后来参加各种程设赛，这道题几乎都必须经历。这道题真正涉及到的代码语法并不难，难的是如何根据给定的一个数字确定能实现的最大沙漏、沙漏行数、沙漏每行的符号数和空格数。初做这道题时想了很久，最后也是暴力求解——“试”出来最大沙漏数、沙漏行数等。但是毕竟学了多年数学，一直觉得一定能有一个数学关系式把最大沙漏、沙漏行数、沙漏每行的符号数和空格数这些变量都给联系起来。

最近在PTA刷题的时候又遇到了这道题，静下心来又分析了一下题目，最终也是终于找到了我要的关系式，因此写这篇文章分享出来。废话不多说，咱们开始。首先老规矩，原题内容如下：

1 题目内容

本题要求你写个程序把给定的符号打印成沙漏的形状。例如给定17个“ * ”，要求按下列格式打印

***** 
 ***
  *
 ***
*****

所谓“沙漏形状”，是指每行输出奇数个符号；各行符号中心对齐；相邻两行符号数差2；符号数先从大到小顺序递减到1，再从小到大顺序递增；首尾符号数相等。

给定任意N个符号，不一定能正好组成一个沙漏。要求打印出的沙漏能用掉尽可能多的符号。

输入格式:
输入在一行给出1个正整数N（≤1000）和一个符号，中间以空格分隔。

输出格式:
首先打印出由给定符号组成的最大的沙漏形状，最后在一行中输出剩下没用掉的符号数。

输入样例:

19 *

输出样例:

*****
 ***
  *
 ***
*****
2

2 题目分析

题目的输入只有两个变量：符号数量、相应的符号，剩下的内容全靠我们自己分析推导。为了方便起见，我分别用all、c两个变量名来表示两个变量。对于这两个变量，第二个变量c只是用来告诉我们输出什么符号，格式的控制完全依靠第一个变量all。想要正确的输出沙漏形状，我们得通过符号数量确定以下内容：

1. 这些数量的符号所能实现的最大沙漏的符号数量max（核心问题1，基本目标）
2. 实现最大沙漏后剩余的符号数量surplus
3. 所能实现的最大沙漏的行数N和每行的符号数cha（核心问题2，控制输出格式）
4. 沙漏每行的空格数spa（核心问题3，居中控制）

有了数据和目标，接下来的任务就是实现这些目标。前面也提到过，上面这些变量我们都可以通过暴力求解法枚举求得。但这毕竟不符合我们对代码高效、简洁的追求。而且，这些变量之间明显存在着数学关系，找到这个数学关系并利用其求解，才更有工科的数学乐趣~下面，我们就利用数学思想，来找出这一关系。

3 数学归纳

为了叙述方便，后面我们的沙漏符号都使用*来表示。首先，我们先来看看对于题目要求沙漏形状的行数和符号数。

3.1 沙漏形状的行数和符号数

对于题目要求的沙漏形状，最小的情况下即为1个符号的情况，即：

*

此时我们有：max = 1、N = 1。用n表示我们的第n个沙漏，最小的沙漏即为n = 1，即：

n	N	max
1	1	1

对于第二个沙漏的情况（n = 2），即为：

***
 *
***

此时我们有：max = 7、N = 3。通过观察两个沙漏的变化我们易知，第二个沙漏是在第一个沙漏的最顶端和最底端分别加了一行，增加的这两行的符号数 = 原顶端（底端）的符号数 + 2，所以我们有：

n	N	max
1	1	1
2	3	7 = 1 + 2 * 3

有了前面两组数据，其实第三个沙漏的情况就很好分析了。对于第二个沙漏的情况（n = 3），即为：

*****
 ***
  *
 ***
*****

此时我们有：max = 17 = 1 + 2 * 3 + 2 * 5、N = 5 = 1+2+2，即：

n	N	max
1	1	1
2	3	7 = 1 + 2 * 3
3	5	17 = 1 + 2 * 3 + 2 * 5

通过观察，我们已经很容易得知，对于n = n时，我们有 N = 2n-1， max = 1 + 2 * 3 + …… + 2 * (2n - 1) 。N已经可以表示为一个对任意n都成立含n的表达式了，而max目前的表达式对n= 1不成立，因此结果还不是很显然。此时，我们也可以到此为止，在实现代码时区分n = 1和n > 1的情况，但我依然认为找到一个更合适的表达式会更加方便。

因此我们再对max分析，进一步会发现：当n = 1时，max = 1 = 2 * 1 - 1；当n = 2时，max = 7 = 2 * 1 + 2 * 3 - 1……由此我们有，当n = n时，max = 2 * 1 + 2 * 3 + …… + 2 * (2n - 1) - 1 = 2 * (1 + 3 + …… +(2n - 1)) - 1。这样一来，结果就比较显而易见了。1 + 3 + …… +(2n - 1) 其实就是一个等差数列的前n项和的问题，不难求出其结果为n²，所以 max = 2n² - 1。

至此，我们通过一个表示第n种情况下沙漏形状的变量n，建立了max与N关于n的表达式。对于指定的某个沙漏形状，n是没有必要存在的，但是在后续的分析中，引入n会给我们的分析和代码实现带来便利，因此我们保留n。