前缀和与差分

终于不是STL了。

今天，前缀和与差分他来了。

首先，大家听到前缀和这个名字一定不陌生。

前缀和实在是太基础了，不过今天，我们要让前缀和与差分一块来用，先来复习一下前缀和。

前缀和

前缀和也可以前缀积，总体来说就是在一些题目数据当中 $n$ 较大，而导致使用暴力 $TLE$ 。

来看一道例题（自己想的，前缀和模板）：

给定一个数 $n(1\le n\le 10^6)$ ，接着给定 $n$ 个数 ,每个数 $a_i(1\le a_i\le 10^5)$，最后再给定 $q(1\le q\le 10^6)$ 组询问，每组询问有两个数 $l$ 和 $r(1\le l,r\le n)$，代表你需要输出$a_l$ 一直到 $a_r$ 的和。

这样一道看似简单的题，暴力是过不了的。

于是我们可以用到前缀和。

所以就可以省下时间，这里还是把代码给一下吧。

#include<iostream>
using namespace std;
long long a[1000010];//十年oi一场空，不开long long见祖宗。 
int main()
{
	int n,q;
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		int x;
		cin>>x;
		a[i]=a[i-1]+x;//前缀和 
	}
	cin>>q;
	while(q--)
	{
		int l,r;
		cin>>l>>r;
		cout<<a[r]-a[l-1]<<endl;
	}
	return 0;
}

前缀积同理，将 + 变成 * 就行了。

差分

复习完前缀和，来看看差分。

差分需要用到前缀和。

前缀和好理解，但是差分怎么说？

差分就是 $a_{i-1}$ 和 $a_i$ 的差。

这里使用一道差分例题来讲解。

题目描述

给定数组a[1],a[2],…,a[n],以及q个操作，每个操作由l,r,x三个整数组成，表示对a[l],a[l+1],…,a[r]这一段数组的每个数都加上x（保证l,r大小合法）。请输出最后的数组。

输入格式

第一行一个整数n，表示数组的大小。

第二行n个整数a[i]，表示数组。

第三行一个整数q，表示操作的数量。

接下来q行，每行三个整数l,r,x，表示一次操作。

输出格式

n个整数，表示最后数组的情况。

样例输入

5
1 2 3 4 5
3
1 1 1
2 4 -1
3 5 2

样例输出

2 1 4 5 7

问题提示

对于30%的数据，1<=n,q<=100,0<=a[i]<=100,0<=x<=100。

对于60%的数据，1<=n,q<=100000,0<=a[i]<=100,0<=x<=100。

对于100%的数据，1<=n,q<=200000,0<=a[i]<=1e9,0<=|x|<=1e9。

好的，这道题明显暴力过不了。但是乍一看，没有地方用差分啊？那是因为你还不了解差分的优点。

先来维护一下差分数组。

a数组(输入数据)={1,2,3,4,5}

b数组(差分数组)={1,1,1,1,1}

而假设你想将$a_x$一只到$a_y$全部加上$z$。

你只需要将$b_x$ 加上 z 再将 $b_{y+1}$ 减去 z 。

接着将其做前缀和处理即可。

具体看代码。

#include<iostream>
using namespace std;
long long a[200005];//输入数据 
long long b[200005];//差分 
long long c[200005];//前缀和 
int main()
{
	int n,q;
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		cin>>a[i];
		b[i]=a[i]-a[i-1];//差分处理 
	}
	cin>>q;
	while(q--)
	{
		int l,r,x;
		cin>>l>>r>>x;//对于每个数据 
		b[l]+=x;//之后都+x 
		b[r+1]-=x;//之后都-x(抵消) 
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		c[i]=c[i-1]+b[i];//前缀和处理 
		cout<<c[i]<<" ";//输出答案。 
	}
	return 0;
}

就是这么简单，结束，下课！
（别忘了点赞+关注+评论）