区间最大公约数 线段树 + 树状数组

区间最大公约数

给定一个长度为 $N$ 的数列 $A$，以及 $M$ 条指令，每条指令可能是以下两种之一：

1. C l r d，表示把 $A[l],A[l+1],\dots ,A[r]$都加上 $d$。
2. Q l r，表示询问 $A[l],A[l+1],\dots ,A[r]$ 的最大公约数$(GCD)$。

对于每个询问，输出一个整数表示答案。

输入格式

第一行两个整数 $N,M$。

第二行 $N$ 个整数 $A[i]$。

接下来 $M$ 行表示 $M$ 条指令，每条指令的格式如题目描述所示。

输出格式

对于每个询问，输出一个整数表示答案。

每个答案占一行。

数据范围

$N\le 500000,M\le 100000$,
$1\le A[i]\le 10^{18}$,
$|d|\le 10^{18}$

输入样例：

5 5
1 3 5 7 9
Q 1 5
C 1 5 1
Q 1 5
C 3 3 6
Q 2 4

输出样例：

1
2
4

1. 线段树维护区间gcd+树状数组维护单点值

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
using namespace std;
int n,m;
const int maxn = 5e+5;
typedef long long ll;
ll a[maxn];     //原数组 
ll dis[maxn];   //差分数组 
ll C[maxn];     //树状数组

struct Node {
    int l ,r;
    ll gcd;
}tr[maxn*4]; //线段树维护差分数组的最大公约数 

void pushup(int u)
{
    tr[u].gcd = __gcd(tr[u<<1].gcd, tr[u<<1|1].gcd);
}

void build(int u, int l, int r)
{
    if(l == r) {
        tr[u] = {l,r,dis[r]};
        return;
    } 
    tr[u] = {l,r};
    int mid = l + r >> 1;
    build(u<<1, l, mid), build(u<<1|1, mid+1, r);
    pushup(u);
}

void modify(int u, int x, ll v)
{
    if(tr[u].l == x && tr[u].r == x){
        tr[u].gcd += v;
        return;
    }
    int mid = tr[u].l + tr[u].r >> 1;
    if(x <= mid) modify(u<<1, x, v);
    else modify(u<<1|1, x, v);
    pushup(u);
}

ll query(int u,int l,int r)
{
    if(l <= tr[u].l && tr[u].r <= r) return tr[u].gcd;
    int mid = tr[u].l + tr[u].r >> 1;
    ll v = 0;
    if(l <= mid) v = query(u<<1,l,r);
    if(r > mid) v = __gcd(v,query(u<<1|1,l,r));
    return v;
}

//树状数组

void update(int i,ll x)
{
    while(i<=n) {
        C[i] += x;
        i += i & -i;
    }
}

ll sum(int i)
{
    ll res = 0;
    while(i > 0){
        res += C[i];
        i -= i & -i;
    }
    return res;
}

int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for(int i=1; i<=n; ++i)
    {
        scanf("%lld",&a[i]);
        dis[i] = a[i] - a[i-1];
        update(i,dis[i]); //构造差分树状数组
    }
    build(1,1,n); //建立线段树
    char op[2];
    int l,r;
    ll d;
    while(m--)
    {
        scanf("%s%d%d", op,&l,&r);
        if(*op == 'Q')
        {
            ll ans = __gcd(sum(l),query(1,l+1,r));
            printf("%lld\n",ans<0?-ans:ans); 
        }
        else 
        {
            scanf("%lld",&d);
            update(l,d);
            update(r+1,-d);
            modify(1,l,d);
            if(r+1<=n)
                modify(1,r+1,-d);
        }
    }
    return 0;
}

2. 线段树维护两个属性（单点值 + 区间gcd）

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
using namespace std;
int n,m;
const int maxn = 5e+5;
typedef long long ll;
ll a[maxn];     //原数组 
ll dis[maxn];   //差分数组 

struct Node {
    int l ,r;
    ll gcd; //区间最大公约数 
    ll sum; //区间和 
}tr[maxn*4]; //线段树维护差分数组的最大公约数 

ll my_gcd(ll a,ll b)
{
    return b?my_gcd(b,a%b):a;
}

void pushup(Node& u,Node& l,Node& r)
{
    u.gcd = my_gcd(l.gcd, r.gcd);
    u.sum = l.sum + r.sum;
}

void pushup(int u)
{
    pushup(tr[u],tr[u<<1],tr[u<<1|1]);
}

void build(int u, int l, int r)
{
    if(l == r) {
        tr[u] = {l,r,dis[r],dis[r]};
        return;
    } 
    tr[u] = {l,r,0,0};
    int mid = l + r >> 1;
    build(u<<1, l, mid), build(u<<1|1, mid+1, r);
    pushup(u);
}

void modify(int u, int x, ll v)
{
    if(tr[u].l == x && tr[u].r == x){
        tr[u].gcd += v;
        tr[u].sum += v; 
        return;
    }
    int mid = tr[u].l + tr[u].r >> 1;
    if(x <= mid) modify(u<<1, x, v);
    else modify(u<<1|1, x, v);
    pushup(u);
}

Node query(int u,int l,int r)
{
    if(l <= tr[u].l && tr[u].r <= r) return tr[u]; 
    int mid = tr[u].l + tr[u].r >> 1;
    if(r <= mid) return query(u<<1,l,r);
    if(l > mid) return query(u<<1|1,l,r);
    else
    {
        Node left = query(u<<1,l,r);
        Node right = query(u<<1|1,l,r);
        Node res;
        pushup(res,left,right);
        return res; 
    }
}

int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for(int i=1; i<=n; ++i)
    {
        scanf("%lld",&a[i]);
        dis[i] = a[i] - a[i-1]; 
    }
    build(1,1,n); //建立线段树
    char op[2];
    int l,r;
    ll d;
    while(m--)
    {
        scanf("%s%d%d", op,&l,&r);
        if(*op == 'Q')
        {
            ll ans = my_gcd(query(1,1,l).sum,query(1,l+1,r).gcd);
            printf("%lld\n",ans); 
        }
        else 
        {
            scanf("%lld",&d);
            modify(1,l,d);
            if(r + 1 <= n) modify(1,r+1,-d);
        }
    }
    return 0;
}