动态规划之矩阵连乘问题

对于矩阵相乘来说， A1(p * q), A2(q * x), A3(x * y) 。。。连乘问题，(A1 * A2) * A3 与 A1 * (A2 * A3)的矩阵乘法的总次数是不同的，分别为 p* q * x + p * x * y 与 q * x * y + p * q * y，两者的值是不相等的，由此可知通过在矩阵连乘中添加括号，改变连乘的顺序可以得到最少的连乘次数。递推公式为：

 对于A1*... *AN = (A1*...*Ak)(Ak+1*...*AN) 则这两个括号中的都是添加括号得到最小次数的连乘方式。

m[i][j]用来表示从Ai到Aj的最小连乘次数bestK[i][j]则表示从Ai到Aj分成2个括号相乘的最佳位置，注意()()()即使是3个括号，也一定可以分为()(()())这种形式。

自底向上动态规划的方式，先把长度较短的最佳连乘划分方式得到，再依次得到长的方式，与回文串比较类似：

long MatrixChain(int matrixNum)
{
    int INF = 1000000;
    for(int i = 1; i <= matrixNum; i++)
        memoTable[i][i] = 0;
    for(int Len = 2; Len <= matrixNum; Len++)
    {
        for(int i = 1; i <= matrixNum - Len + 1; i++)
        {
            int j = i + Len - 1;
            memoTable[i][j] = INF;
            for(int k = i; k < j; k++)
            {
                //i与k可以相等，k+1与j也可以相等，所以 k < j
                long ans = memoTable[i][k] + memoTable[k + 1][j] + dim[i - 1] * dim[k] * dim[j]; //Ai对应的行数为dim[i-1],dim[j]表示第Aj+1的行数，也是Aj的列数
                if(ans < memoTable[i][j])
                {
                    bestK[i][j] = k;//记录从Ai乘到Aj最少乘次数的中间的括号分隔的位置
                    memoTable[i][j] = ans;
                }
            }
        }
    }
    return memoTable[1][matrixNum];//从A1乘到AN的最小乘次数
}

递归方法：

//递归方法，可以得到i到j的最小连乘次数
long MatrixChain(int i, int j)
{
    if(i == j)
        return 0;
    int ans;
    int minV = 10000000;
    for(int k = i; k < j; k++)
    {
        ans = MatrixChain(i, k) + MatrixChain(k + 1, j) + dim[i - 1] * dim[k] * dim[j];
        if(ans < minV)
            minV = ans;
    }
    return minV;
}

备忘录方法，是递归方法的进一步优化，只增加了两条语句，相当于将每次算出的m[i][j]记录下来，这样就不用每次再进行递归调用了，这一点和第一种方法比较类似，都是进行了一定的记录。

//memset(memoTable, -1, sizeof(memoTable))进行初始化
long MatrixChain(int i, int j)
{
    if(memoTable[i][j] != -1)
        return memoTable[i][j];//说明此m[i][j]已经完成了计算
    if(i == j)
    {
        memoTable[i][j] = 0;
        return 0;
    }
    int ans;
    int minV = 10000000;
    for(int k = i; k < j; k++)
    {
        ans = MatrixChain(i, k) + MatrixChain(k + 1, j) + dim[i - 1] * dim[k] * dim[j];
        if(ans < minV)
        {
            bestK[i][j] = k
            minV = ans;
        }
    }
    memoTable[i][j] = minV;
    return minV;
}