矩阵连乘 (动态规划)

动态规划法

题目描述：给定n个矩阵{A1,A2....An}，其中Ai与Ai+1是可以相乘的，判断这n个矩阵通过加括号的方式相乘，使得相乘的次数最少!

以矩阵链ABCD为例

按照矩阵链长度递增计算最优值

矩阵链长度为1时，分别计算出矩阵链A、B、C、D的最优值

矩阵链长度为2时，分别计算出矩阵链AB、BC、CD的最优值

矩阵链长度为3时，分别计算出矩阵链ABC、BCD的最优值

矩阵链长度为4时，计算出矩阵链ABCD的最优值

动归方程：

分析:

k为矩阵链断开的位置

d数组存放矩阵链计算的最优值，d[i][j]是以第i个矩阵为首，第j个矩阵为尾的矩阵链的最优值，i > 0

m数组内存放矩阵链的行列信息，m[i-1]和m[i]分别为第i个矩阵的行和列（i = 1、2、3...）

c语言实现代码：

#include <stdio.h>

#define N 20
void MatrixChain(int p[N],int n,int m[N][N],int s[N][N]){
	int i,j,t,k;	
	int r;							//记录相乘的矩阵个数变量
	for(i=1;i<=n;i++){
		m[i][i]=0;					//当一个矩阵相乘时，相乘次数为 0 
	} 	
	//矩阵个数从两个开始一次递增 
	for(r=2;r<=n;r++){
		//从某个矩阵开始		 
		for(i=1;i<=n-r+1;i++){
			//到某个矩阵的结束 
			j=i+r-1;
			//拿到从 i 到 j 矩阵连乘的次数 
			m[i][j]=m[i+1][j]+p[i-1]*p[i]*p[j];
			//拿到矩阵连乘断开的位置 
			s[i][j]=i;
			//寻找加括号不同，矩阵连乘次数的最小值，修改 m 数组，和断开的位置 s 数组 
			for(k=i+1;k<j;k++){
				t=m[i][k]+m[k+1][j]+p[i-1]*p[k]*p[j];
				if(t<m[i][j]){
					m[i][j]=t;
					s[i][j]=k;
				}
			}
		}
	} 
}

int main(void){
	int n,n1,m1,i,j=2;
	int p[N]={0};					//存储矩阵的行和列数组 
	int m[N][N]={0};				//存储矩阵与矩阵相乘的最小次数
	int s[N][N]={0};				//存储矩阵与矩阵相乘断开的位置 
	printf("请输入矩阵个数:\n");
	scanf("%d",&n);
	for(i=1;i<=n;i++){
		printf("请输入第%d个矩阵的行和列(n1*m1 格式):",i);
		scanf("%d*%d",&n1,&m1);
		if(i==1){
			p[0]=n1;
			p[1]=m1;
		}
		else{
			p[j++]=m1;
		}
	}
	printf("\n记录矩阵行和列:\n");
	for(i=0;i<=n;i++){
		printf("%d ",p[i]);
	}
	printf("\n");
	MatrixChain(p,n,m,s);
	printf("\n矩阵相乘的最小次数矩阵为:\n");
	for(i=1;i<=n;i++){
		for(j=1;j<=n;j++){
			printf("%d    ",m[i][j]);
		}
		printf("\n");
	}
	printf("\n矩阵相乘断开的位置矩阵为:\n");
	for(i=1;i<=n;i++){
		for(j=1;j<=n;j++){
			printf("%d ",s[i][j]);
		}
		printf("\n");
	}
	printf("矩阵最小相乘次数为:%d\n",m[1][n]);
	return 0;
}