平衡二叉树(AVL树)-优快云博客

平衡二叉树是一种二叉排序树，其中每一个节点的左子树和右子树的高度差至多等于1，它是一种高度平衡的二叉排序树，我们将二叉树上节点的左子树深度减去右子树深度的值称为平衡因子BF(Balance Factor)，那么平衡二叉树上所有结点的平衡因子只可能是-1，0，1。只要二叉树上有一个节点的平衡因子的绝对值大于1，则该二叉树就是不平衡的。平衡二叉树的查找时间复杂度为O(logn)，插入删除也为O(logn)，是比较理想的一种动态查找表算法。

距离插入节点最近的，且平衡因子的绝对值大于1的结点为根的子树，称为最小不平衡子树。

平衡二叉树实现原理

平衡二叉树构建的基本思想就是在构建二叉排序树的过程中，每当插入一个结点时，先检查是否因插入而破坏了树的平衡性，若是则找出最小不平衡树，保持二叉排序树的特性前提下，调整最小不平衡树中各结点之间的链接关系，进行相应的旋转使之成为新的平衡子树。

当最小不平衡子树根节点的平衡因子BF大于1时，就右旋，小于-1时就左旋，如果插入结点后最小不平衡树的BF与它的子树的BF符号相反时，就需要对结点先进行一次旋转以使得符号相同后，再反方向旋转一次才能够完成平衡操作，例如结点9的插入。

平衡二叉树实现算法

改进二叉排序树的结点结构，增加一个bf，用来存储平衡因子

typedef struct BiTNode
{
	int data;
	int bf;		//平衡因子
	struct BiTNode* lchild, *rchild;
}BiTNode, *BiTree;

左旋与右旋

//对以p为根的二叉排序树作右旋处理
//处理之后p指向新的树根节点，即旋转处理之前的左子树的根结点
void R_Rotate(BiTree *p)
{
	BiTree L;
	L = (*p)->lchild;
	(*p)->lchild = L->rchild;
	L->rchild = (*p);
	*p = L;
}

//左旋处理
void L_Rotate(BiTree *p)
{
	BiTree R;
	R = (*p)->rchild;
	(*p)->rchild = R->lchild;
	R->lchild = (*p);
	*p = R;
}

左平衡旋转处理函数

#define LH +1  //左高
#define EH 0   //等高
#define RH -1  //右高

//对以指针T所指结点为根的二叉树作左平衡处理
//结束时指针T指向新的根结点
void LeftBalance(BiTree* T)
{
	BiTree L, Lr;
	L = (*T)->lchild;
	switch (L->bf)
	{//检查T的左子树的平衡度，并作平衡处理
	case LH:  //新结点插入在T的左孩子的左子树上，要做单右旋处理
		(*T)->bf = L->bf = EH;
		R_Rotate(T);
		break;
	case RH: //新结点插入在T的左孩子的右子树上，要作双旋处理
		Lr = L->rchild;
		switch (Lr->bf)
		{
		case LH:
			(*T)->bf = RH;
			L->bf = EH;
			break;
		case EH:
			(*T)->bf = L->bf = EH;
			break;
		case RH:
			(*T)->bf = EH;
			L->bf = LH;
			break;
		}
		Lr->bf = EH;
		L_Rotate(&(*T)->lchild);  //对T的左子树作左旋平衡处理
		R_Rotate(T);	//对T作右旋平衡处理
	}
}

右平衡旋转处理函数

/*  对以指针T所指结点为根的二叉树作右平衡旋转处理， */
/*  本算法结束时，指针T指向新的根结点 */
void RightBalance(BiTree *T)
{
	BiTree R, Rl;
	R = (*T)->rchild; /*  R指向T的右子树根结点 */
	switch (R->bf)
	{ /*  检查T的右子树的平衡度，并作相应平衡处理 */
	case RH: /*  新结点插入在T的右孩子的右子树上，要作单左旋处理 */
		(*T)->bf = R->bf = EH;
		L_Rotate(T);
		break;
	case LH: /*  新结点插入在T的右孩子的左子树上，要作双旋处理 */
		Rl = R->lchild; 			/*  Rl指向T的右孩子的左子树根 */
		switch (Rl->bf)
		{ 						/*  修改T及其右孩子的平衡因子 */
		case RH: (*T)->bf = LH;
			R->bf = EH;
			break;
		case EH: (*T)->bf = R->bf = EH;
			break;
		case LH: (*T)->bf = EH;
			R->bf = RH;
			break;
		}
		Rl->bf = EH;
		R_Rotate(&(*T)->rchild); /*  对T的右子树作右旋平衡处理 */
		L_Rotate(T); /*  对T作左旋平衡处理 */
	}
}

主函数

/*  若在平衡的二叉排序树T中不存在和e有相同关键字的结点，则插入一个 */
/*  数据元素为e的新结点，并返回1，否则返回0。若因插入而使二叉排序树 */
/*  失去平衡，则作平衡旋转处理，布尔变量taller反映T长高与否。 */
bool InsertAVL(BiTree *T, int e, bool *taller)
{
	if (!*T)
	{ /*  插入新结点，树“长高”，置taller为TRUE */
		*T = (BiTree)malloc(sizeof(BiTNode));
		(*T)->data = e; (*T)->lchild = (*T)->rchild = NULL; (*T)->bf = EH;
		*taller = true;
	}
	else
	{
		if (e == (*T)->data)
		{ /*  树中已存在和e有相同关键字的结点则不再插入 */
			*taller = false; return false;
		}
		if (e < (*T)->data)
		{ /*  应继续在T的左子树中进行搜索 */
			if (!InsertAVL(&(*T)->lchild, e, taller)) /*  未插入 */
				return false;
			if (*taller) /*   已插入到T的左子树中且左子树“长高” */
				switch ((*T)->bf) /*  检查T的平衡度 */
				{
				case LH: /*  原本左子树比右子树高，需要作左平衡处理 */
					LeftBalance(T);	
					*taller = false; 
					break;
				case EH: /*  原本左、右子树等高，现因左子树增高而使树增高 */
					(*T)->bf = LH;
					*taller = false;
					break;
				case RH: /*  原本右子树比左子树高，现左、右子树等高 */
					(*T)->bf = EH;
					*taller = false;
					break;
				}
		}
		else
		{ /*  应继续在T的右子树中进行搜索 */
			if (!InsertAVL(&(*T)->rchild, e, taller)) /*  未插入 */
				return false;
			if (*taller) /*  已插入到T的右子树且右子树“长高” */
				switch ((*T)->bf) /*  检查T的平衡度 */
				{
				case LH: /*  原本左子树比右子树高，现左、右子树等高 */
					(*T)->bf = EH;
					*taller = false;
					break;
				case EH: /*  原本左、右子树等高，现因右子树增高而使树增高  */
					(*T)->bf = RH;
					*taller = true;
					break;
				case RH: /*  原本右子树比左子树高，需要作右平衡处理 */
					RightBalance(T);
					*taller = false;
					break;
				}
		}
	}
	return true;
}


//实现
int i;
int a[10]={3,2,1,4,5,6,7,10,9,8};
BiTree T=NULL;
Status taller;
for(i=0;i<10;i++)
{
	InsertAVL(&T,a[i],&taller);
}