二叉堆的介绍
二叉堆是完全二元树或者是近似完全二元树,按照数据的排列方式可以分为两种:最大堆和最小堆。
最大堆:父结点的键值总是大于或等于任何一个子节点的键值;最小堆:父结点的键值总是小于或等于任何一个子节点的键值。
二叉堆一般都通过"数组"来实现,下面是数组实现的最大堆和最小堆的示意图:
二叉堆的图文解析
图文解析是以"最大堆"来进行介绍的。
最大堆的核心内容是"添加"和"删除",理解这两个算法,二叉堆也就基本掌握了。下面对它们进行介绍,其它内容请参考后面的完整源码。
1. 添加
假设在最大堆[90,80,70,60,40,30,20,10,50]种添加85,需要执行的步骤如下:
如上图所示,当向最大堆中添加数据时:先将数据加入到最大堆的最后,然后尽可能把这个元素往上挪,直到挪不动为止!
将85添加到[90,80,70,60,40,30,20,10,50]中后,最大堆变成了[90,85,70,60,80,30,20,10,50,40]。
最大堆的插入代码(Java语言)
/* * 最大堆的向上调整算法(从start开始向上直到0,调整堆) * * 注:数组实现的堆中,第N个节点的左孩子的索引值是(2N+1),右孩子的索引是(2N+2)。 * * 参数说明: * start -- 被上调节点的起始位置(一般为数组中最后一个元素的索引) */ protected void filterup(int start) { int c = start; // 当前节点(current)的位置 int p = (c-1)/2; // 父(parent)结点的位置 T tmp = mHeap.get(c); // 当前节点(current)的大小 while(c > 0) { int cmp = mHeap.get(p).compareTo(tmp); if(cmp >= 0) break; else { mHeap.set(c, mHeap.get(p)); c = p; p = (p-1)/2; } } mHeap.set(c, tmp); } /* * 将data插入到二叉堆中 */ public void insert(T data) { int size = mHeap.size(); mHeap.add(data); // 将"数组"插在表尾 filterup(size); // 向上调整堆 }
insert(data)的作用:将数据data添加到最大堆中。mHeap是动态数组ArrayList对象。
当堆已满的时候,添加失败;否则data添加到最大堆的末尾。然后通过上调算法重新调整数组,使之重新成为最大堆。
2. 删除
假设从最大堆[90,85,70,60,80,30,20,10,50,40]中删除90,需要执行的步骤如下:
如上图所示,当从最大堆中删除数据时:先删除该数据,然后用最大堆中最后一个的元素插入这个空位;接着,把这个“空位”尽量往上挪,直到剩余的数据变成一个最大堆。
从[90,85,70,60,80,30,20,10,50,40]删除90之后,最大堆变成了[85,80,70,60,40,30,20,10,50]。
注意:考虑从最大堆[90,85,70,60,80,30,20,10,50,40]中删除60,执行的步骤不能单纯的用它的字节点来替换;而必须考虑到"替换后的树仍然要是最大堆"!
二叉堆的删除代码(Java语言)
/* * 最大堆的向下调整算法 * * 注:数组实现的堆中,第N个节点的左孩子的索引值是(2N+1),右孩子的索引是(2N+2)。 * * 参数说明: * start -- 被下调节点的起始位置(一般为0,表示从第1个开始) * end -- 截至范围(一般为数组中最后一个元素的索引) */ protected void filterdown(int start, int end) { int c = start; // 当前(current)节点的位置 int l = 2*c + 1; // 左(left)孩子的位置 T tmp = mHeap.get(c); // 当前(current)节点的大小 while(l <= end) { int cmp = mHeap.get(l).compareTo(mHeap.get(l+1)); // "l"是左孩子,"l+1"是右孩子 if(l < end && cmp<0) l++; // 左右两孩子中选择较大者,即mHeap[l+1] cmp = tmp.compareTo(mHeap.get(l)); if(cmp >= 0) break; //调整结束 else { mHeap.set(c, mHeap.get(l)); c = l; l = 2*l + 1; } } mHeap.set(c, tmp); } /* * 删除最大堆中的data * * 返回值: * 0,成功 * -1,失败 */ public int remove(T data) { // 如果"堆"已空,则返回-1 if(mHeap.isEmpty() == true) return -1; // 获取data在数组中的索引 int index = mHeap.indexOf(data); if (index==-1) return -1; int size = mHeap.size(); mHeap.set(index, mHeap.get(size-1));// 用最后元素填补 mHeap.remove(size - 1); // 删除最后的元素 if (mHeap.size() > 1) filterdown(index, mHeap.size()-1); // 从index号位置开始自上向下调整为最小堆 return 0; }
二叉堆的Java实现(完整源码)
二叉堆的实现同时包含了"最大堆"和"最小堆"。
二叉堆(最大堆)的实现文件(MaxHeap.java)

1 /** 2 * 二叉堆(最大堆) 3 * 4 * @author skywang 5 * @date 2014/03/07 6 */ 7 8 import java.util.ArrayList; 9 import java.util.List; 10 11 public class MaxHeap<T extends Comparable<T>> { 12 13 private List<T> mHeap; // 队列(实际上是动态数组ArrayList的实例) 14 15 public MaxHeap() { 16 this.mHeap = new ArrayList<T>(); 17 } 18 19 /* 20 * 最大堆的向下调整算法 21 * 22 * 注:数组实现的堆中,第N个节点的左孩子的索引值是(2N+1),右孩子的索引是(2N+2)。 23 * 24 * 参数说明: 25 * start -- 被下调节点的起始位置(一般为0,表示从第1个开始) 26 * end -- 截至范围(一般为数组中最后一个元素的索引) 27 */ 28 protected void filterdown(int start, int end) { 29 int c = start; // 当前(current)节点的位置 30 int l = 2*c + 1; // 左(left)孩子的位置 31 T tmp = mHeap.get(c); // 当前(current)节点的大小 32 33 while(l <= end) { 34 int cmp = mHeap.get(l).compareTo(mHeap.get(l+1)); 35 // "l"是左孩子,"l+1"是右孩子 36 if(l < end && cmp<0) 37 l++; // 左右两孩子中选择较大者,即mHeap[l+1] 38 cmp = tmp.compareTo(mHeap.get(l)); 39 if(cmp >= 0) 40 break; //调整结束 41 else { 42 mHeap.set(c, mHeap.get(l)); 43 c = l; 44 l = 2*l + 1; 45 } 46 } 47 mHeap.set(c, tmp); 48 } 49 50 /* 51 * 删除最大堆中的data 52 * 53 * 返回值: 54 * 0,成功 55 * -1,失败 56 */ 57 public int remove(T data) { 58 // 如果"堆"已空,则返回-1 59 if(mHeap.isEmpty() == true) 60 return -1; 61 62 // 获取data在数组中的索引 63 int index = mHeap.indexOf(data); 64 if (index==-1) 65 return -1; 66 67 int size = mHeap.size(); 68 mHeap.set(index, mHeap.get(size-1));// 用最后元素填补 69 mHeap.remove(size - 1); // 删除最后的元素 70 71 if (mHeap.size() > 1) 72 filterdown(index, mHeap.size()-1); // 从index号位置开始自上向下调整为最小堆 73 74 return 0; 75 } 76 77 /* 78 * 最大堆的向上调整算法(从start开始向上直到0,调整堆) 79 * 80 * 注:数组实现的堆中,第N个节点的左孩子的索引值是(2N+1),右孩子的索引是(2N+2)。 81 * 82 * 参数说明: 83 * start -- 被上调节点的起始位置(一般为数组中最后一个元素的索引) 84 */ 85 protected void filterup(int start) { 86 int c = start; // 当前节点(current)的位置 87 int p = (c-1)/2; // 父(parent)结点的位置 88 T tmp = mHeap.get(c); // 当前节点(current)的大小 89 90 while(c > 0) { 91 int cmp = mHeap.get(p).compareTo(tmp); 92 if(cmp >= 0) 93 break; 94 else { 95 mHeap.set(c, mHeap.get(p)); 96 c = p; 97 p = (p-1)/2; 98 } 99 } 100 mHeap.set(c, tmp); 101 } 102 103 /* 104 * 将data插入到二叉堆中 105 */ 106 public void insert(T data) { 107 int size = mHeap.size(); 108 109 mHeap.add(data); // 将"数组"插在表尾 110 filterup(size); // 向上调整堆 111 } 112 113 @Override 114 public String toString() { 115 StringBuilder sb = new StringBuilder(); 116 for (int i=0; i<mHeap.size(); i++) 117 sb.append(mHeap.get(i) +" "); 118 119 return sb.toString(); 120 } 121 122 public static void main(String[] args) { 123 int i; 124 int a[] = {10, 40, 30, 60, 90, 70, 20, 50, 80}; 125 MaxHeap<Integer> tree=new MaxHeap<Integer>(); 126 127 System.out.printf("== 依次添加: "); 128 for(i=0; i<a.length; i++) { 129 System.out.printf("%d ", a[i]); 130 tree.insert(a[i]); 131 } 132 133 System.out.printf("\n== 最 大 堆: %s", tree); 134 135 i=85; 136 tree.insert(i); 137 System.out.printf("\n== 添加元素: %d", i); 138 System.out.printf("\n== 最 大 堆: %s", tree); 139 140 i=90; 141 tree.remove(i); 142 System.out.printf("\n== 删除元素: %d", i); 143 System.out.printf("\n== 最 大 堆: %s", tree); 144 System.out.printf("\n"); 145 } 146 }