NOIP2004石子合并（环形DP + 四边形不等式优化）

最新推荐文章于 2023-02-02 14:01:14 发布

Sunshine_cfbsl

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文章标签： DP 四边形不等式 NOIP

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这篇博客探讨了NOIP2004竞赛中的一道经典问题——石子合并。通过运用环形动态规划（DP）和四边形不等式优化，博主详细解析了如何求解将石子从第i堆合并到第j堆的最小成本。状态转移方程是解决问题的关键，四边形不等式的引入有助于进一步优化算法效率。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

经典的环形Dp问题，定义dp[i][j]为将第i堆到第j堆石子全部合并后所用的最小花费。则有如下状态转移方程：

d p [i] [j] = m i n (d p [i] [j], d p [i] [k - 1] + d p [k] [j] + w [i] [j]) (k \in (i, j])

$dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i][k-1]+dp[k][j]+w[i][j]) (k\in(i,j])$
通过四边形不等式优化以后，可转化为：

d p [i] [j] = m i n (d p [i] [j], d p [i] [k - 1] + d p [k] [j] + w [i] [j]) (k \in [s [i] [j - 1], s [i + 1] [j]])

$dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i][k-1]+dp[k][j]+w[i][j])(k\in[s[i][j-1],s[i+1][j]])$

其 中 s [i] [j] = m a x (k | d p [i] [j] = d p [i] [k - 1] + d p [k] [j] + w [i] [j])

$其中s[i][j] = max(k|dp[i][j]=dp[i][k-1]+dp[k][j]+w[i][j])$
代码如下：

/*
ID: Sunshine_cfbsl
LANG: C++
*/
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;

const int MAXN = 105, INF = 1000000000;
int ans1, ans2, n, w[MAXN*2][MAXN*2], dp[MAXN*2][MAXN*2], s[MAXN*2][MAXN*2], f[MAXN*2][MAXN*2];

int main() {
    int i, d, k;
    scanf("%d", &n);
    for(i = 1; i <= n; i++) {
        scanf("%d", &w[i][i]);
        w[i+n][i+n] = w[i][i];
        dp[i+n][i+n] = dp[i][i] = f[i+n][i+n] = f[i][i] = 0;
        s[i+n][i+n] = i+n;
        s[i][i] = i;
    }
    for(d = 1; d < n; d++) {
        for(i = 1; i + d < 2*n; i++) {
            w[i][i+d] = w[i+1][i+d]+w[i][i];
            dp[i][i+d] = INF;
            f[i][i+d] = -INF;
            k = s[i][i+d-1];
            if(k == i) k++;
            for(; k <= s[i+1][i+d]; k++) {
                if(dp[i][i+d] >= dp[i][k-1]+dp[k][i+d]+w[i][i+d]) {
                    dp[i][i+d] = dp[i][k-1]+dp[k][i+d]+w[i][i+d];
                    s[i][i+d] = k;
                }
            }
            f[i][i+d] = max(f[i+1][i+d], f[i][i+d-1]) + w[i][i+d];
        }
    }
    ans1 = INF;
    ans2 = -INF;
    for(i = 1; i+n-1 < 2*n; i++) {
        ans1 = min(ans1, dp[i][i+n-1]);
        ans2 = max(ans2, f[i][i+n-1]);
    }
    printf("%d\n%d\n", ans1, ans2);
    return 0;
}