《算法导论》 练习 2.1

《算法导论》 练习 2.1

一个好久没动脑的感觉人快坏掉了的超菜的文科生的《算法导论（第3版）》学习记录。

2.1 - 1

问：
说明 INSERTION-SORT 在数组 A = <31, 41, 59, 26, 41, 58> 上的执行过程。

答：
插入排序的过程，根据书中提供的伪代码可以得到，略。

2.1 - 2

问：
重写 INSERTION-SORT 过程，使之按非升序排序。

答：
伪代码如下

for j = 2 to A.length
	key = A[j]
	i = j - 1
	while i > 0 and A[i] < key
		A[i+1] = A[i]
		i = i + 1
	A[i+1] = key

2.1 - 3

问：
考虑以下查找问题，
输入，n 个数的一个序列 A = <a1, a2, … , an> 和一个值 v；
输出，下标 i 使得 v = A[i] 或者当 v 不在 A 中出现时，v 为特殊值 NIL；
写出线性查找的伪代码，使用一个循环不变式来证明算法是正确的。

答：
伪代码如下

for i = 1 to A.length
	if v == A[i]
		return i
return NIL

循环不等式，在 1~3 行 for 循环的每次迭代开始时，子数组 A[1, …, i-1] 由原数组在 [1, i-1] 的元素组成，且其中不存在 v = A[j]；
初始化，v 同 [] 中的元素不一样；
保持，若到下一次迭代，说明 v != A[i]，又 v != A[1, …, i-1]，说明 i 时的循环不等式成立；
终止，A[1, …, A.length] 说明不存在 v = A[j]。

2.1 - 4

问：
考虑把两个 n 位二进制整数加起来的问题，分别存储在 n 元数组 A 和 B 中，求其和 C。

答：
假定 A、B 是倒着存储的二进制整数数组，则伪代码如下：

for i = 1 to n
	C[i] = A[i] + B[i]
	C[i+1] = C[i] // 2
	C[i] = C[i] % 2
C[n+1] = C[n] // 2