算法图解

本文是《算法图解》各章节知识点概述,涵盖二分查找、简单查找等算法,介绍了数组、链表等数据结构,还涉及递归、快速排序、广度优先搜索、迪克斯特拉算法、贪婪算法、动态规划、K最近邻算法等内容,包含算法原理、时间复杂度及适用场景等关键信息。

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注:此文主要用于《算法图解》一书各章节知识点概述。


第一章:

二分查找算法O(logn)
算法程序:

简单查找算法O(n)
大O运行时间:
O(logn) < O(n) < O(nlogn) < O(n²) < O(n!)

先排序,再查找


第二章:

数组:适用于读取很多
读取O(1) 插入O(n) 删除O(n)

链表:适用于插入很多
读取O(n) 插入O(1) 删除O(1)

数组与链表是所有复杂数据结构的基石

链表数组
散列表
数据库

选择排序:O(n²)
每一次都遍历,找出最大,次大,次小,最小


第三章:

递归
每个递归函数包含两部分:
基线条件:让函数不再自己调用自己,避免无限循环
递归条件:让函数自己调用自己

调用栈 用于存储多个函数的变量
递归函数调用栈


第四章:

快速排序
采用了分而治之的思想
平均时间,最佳时间 O(nlogn)
最糟时间 O(n²)
算法

分而治之
1、找出简单的基线条件
2、确定如何缩小问题的规模,使其符合基线条件

编写涉及数组的递归函数时,基线条件通常是数组为空或者只包含一个元素。


第五章:

散列表(散列映射、映射、字典、关联数组)
散列表通过散列函数来确定元素的存储位置,是一种包含额外逻辑的数据结构
数组和链表都是直接映射到内存

散列表由键和值组成
DNS解析就是一个字典过程,将网址转换成IP地址
散列表具有数组的查找速度和链接的删除插入速度


第六章:

广度优先搜索(BFS)
一种图算法
可以用来计算最短距离
图由节点(node)和边(edge)组成
邻居
有向图,关系为单向的,有箭头
无向图,关系为双向的,无箭头

广度优先搜索可解决两类问题:
1、从节点A出发,有前往节点B的路径么?
2、从节点A出发,前往节点B的哪条路径最短?

算法时间:
O(V+E)
V:顶点数
E:边数

树是一种特殊的图,其中没有往后指的边

队列
入队与出队
先进先出结构 队列
先进后出结构 栈


第七章:

迪克斯特拉算法:
可以找出加权图中前往目标的最短路径
只适用于有向无环图
步骤:
1、找出最便宜的节点,即可在最短时间内前往的节点
2、对于该节点的邻居,检查是否有前往他们的更短路径,如果有,就更新其开销
3、重复这个过程,直到对图中的每个节点都这样做了
4、计算最终路径

加权图:
提高或降低某些边的权重

图中的环

不能将迪克斯特拉算法用于包含负权边的图
在包含负权边的图中,要找出最短路径,可采用 贝尔曼-福德算法


第八章:

贪婪算法:
每一步都选择局部最优解,最终企图得到的就是全局最优解

此算法有bug
有可能只解出近似解,而不是最优解
但执行很简单
贪婪算法是一种近似算法

判断近似算法的优劣标准:
1、速度有多快
2、得到的近似解与最优解的接近程度

NP完全问题
NP完全问题不用寻找完美解决方案,一般采用近似算法
一般涉及组合,集合,序列问题,都很有可能是NP完全问题。
比如旅行商问题和集合覆盖问题


第九章:

动态规划:
需要在给定约束条件下优化某种指标时,动态规划很管用。
原理:先解决子问题,再逐步解决大问题

将问题进行网格化划分。
单元格中的值通常就是你要优化的值。
每个单元格都是一个子问题。

仅当每个子问题都是离散的,即不依赖于其他子问题时,动态规划才管用

最长公共子串
最长公共子序列


第十章:

K最近邻算法:

分类
可以用来创建分类系统
特征提取,进行数字化衡量
采用毕达哥拉斯公式进行距离相似度衡量
注意可以缩放数据尺寸,进行统一标准
或者进行权重分配,有所偏重

回归
回归就是预测结果
首先采用KNN找出最接近的几个邻居
邻居数量选择:一般总用户为n个,则选择sqrt(n)个
再对它们取平均值进行预测

余弦相似度,比较角度,而不是距离,可能更合理


 

<think>首先,用户的问题是:“我想查找KMP算法图解说明或可视化解释请问KMP算法图解教程可视化解释”。用户需要关于KMP算法图解教程或可视化解释。根据系统级指令:-所有行内数学表达式必须使用$...$格式。-独立公式必须使用$$...$$格式并单独成段。-LaTeX语法正确。-使用中文回答。-生成相关问题。-回答中引用的段落末尾自然地添加引用标识,例如[^1]。用户可见层指令:-回答结构清晰,帮助用户逐步解决问题,尽量保证回答真实可靠。参考站内引用:-引用[1]:提到了KMP算法的next数组可视化解析。-引用[2]:关于算法分析,如递归树方法。-引用[3]:归并排序的时间复杂度计算。-引用[4]:算法教学视频链接。用户的问题集中在KMP算法图解和可视化上,所以我应该重点参考引用[1],因为它直接提到了“KMP算法的next数组可视化解析”。我的回答结构应该清晰,逐步解释KMP算法:1.介绍KMP算法:简要说明它是什么,为什么有用。2.核心思想:使用图解或可视化解释KMP算法如何工作。3.重点解释next数组:因为引用[1]提到了可视化解析。4.提供示例:用一个简单的模式串展示next数组的构建和匹配过程。5.添加相关资源:如引用[4]中的视频链接。6.生成相关问题。确保使用中文回答。现在,构建回答:-**标题**:KMP算法图解教程与可视化解释-**内容**:-第一步:介绍KMP算法。-第二步:解释核心思想,包括图解(用文字描述图解,因为这是文本格式)。-第三步:详细解释next数组的构建,可视化解析。-第四步:示例演示。-第五步:总结和资源推荐。-**结尾**:生成相关问题。在回答中引用引用[1],因为它直接相关。自然地添加引用标识。对于可视化解释,既然用户要求图解,我不能实际显示图像,但可以用描述性语言和ASCII艺术或简单图示来模拟。例如,展示模式串和next数组的对应。引用引用[4]的视频链接作为额外资源。生成相关问题:基于KMP算法,如优化、应用等。最终回答结构:1.引言:什么是KMP算法。2.核心思想图解。3.next数组可视化解析。4.完整算法示例。5.资源推荐。6.相关问题。</think>### KMP算法图解教程与可视化解释 KMP算法(Knuth-Morris-Pratt算法)是一种高效的字符串匹配算法,用于在文本中快速查找模式串的出现位置。它通过避免不必要的回溯来提高效率,时间复杂度为$O(n + m)$(其中$n$是文本长度,$m$是模式串长度)。下面我将通过图解和可视化方式逐步解释其核心思想,重点解析next数组的构建过程。参考引用[1]中的可视化方法,帮助您直观理解。 #### 1. **KMP算法核心思想图解** KMP算法的核心是**利用已匹配的部分信息来跳过不必要的比较**。当模式串与文本不匹配时,算法不是直接回退到起点,而是根据预先计算的“next数组”移动到最优位置。以下是一个简单示例的模式串:"ABA"。 - **步骤1: 初始化匹配过程** 假设文本为"ABABAC",模式串为"ABA"。 初始匹配:文本索引$i=0$,模式串索引$j=0$。 ``` 文本: A B A B A C ↑ 模式串: A B A ↑ 匹配成功:j增加。 ``` - **步骤2: 部分匹配失败的处理** 当匹配到索引$j=2$时(模式串的最后一个字符),如果文本的下一个字符不匹配,KMP算法会计算next数组来决定$j$的回退位置。 ``` 文本: A B A B A C ↑ (i=3, 文本的'B' vs 模式串期望的'C'? 不匹配) 模式串: A B A ↑ (j=2) ``` 此时,普通算法会回退$i$和$j$到起始点+1,但KMP利用next数组:$j$回退到next[j]的值,避免$i$回退。 - **可视化关键**:next数组存储了模式串的“最长公共前后缀长度”,帮助算法跳过无效比较。引用[1]强调了这个数组的可视化解析是理解KMP的核心[^1]。 #### 2. **next数组的可视化解析** next数组是KMP算法的灵魂,它记录了模式串每个位置的最长公共前后缀长度。我们以模式串"ABABA"为例,逐步构建next数组并可视化。 - **next数组定义**: 对于模式串$P[0..m-1]$,next[j]表示子串$P[0..j-1]$中,最长相等前缀和后缀的长度(前缀不能包含整个子串)。 例如,模式串"ABABA": ``` 索引 j: 0 1 2 3 4 字符: A B A B A next[j]: -1 0 0 1 2 # 初始next[0] = -1(特殊标记) ``` - **构建过程图解(可视化步骤)**: 我们模拟计算next数组,使用双指针法(i和k): - $k$ 表示当前前缀的结束索引(初始k = -1)。 - $i$ 表示当前后缀的结束索引(初始i = 0)。 **步骤0 (i=0, k=-1)**: ``` P: A B A B A ↑ (i) k = -1 → next[0] = -1 ``` **步骤1 (i=1, k=0)**: 比较P[i]('B')和P[k]('A'),不匹配。k回退到next[k](-1),然后k增加为0。 ``` P: A B A B A ↑ (i=1) k=0 → 比较失败,k = next[k] = -1 → k++ → k=0 next[1] = 0 # 无公共前后缀 ``` **步骤2 (i=2, k=0)**: 比较P[i]('A')和P[k]('A'),匹配!k增加为1。 ``` P: A B A B A ↑ (i=2) k=0 → 匹配,k++ → k=1 next[2] = k = 1 # 前缀"A"和后缀"A"匹配(长度1) ``` **步骤3 (i=3, k=1)**: 比较P[i]('B')和P[k]('B'),匹配!k增加为2。 ``` P: A B A B A ↑ (i=3) k=1 → 匹配,k++ → k=2 next[3] = k = 2 # 前缀"AB"和后缀"AB"? 实际是前缀"A"和后缀"B"不直接相等,但通过累积,最长公共前后缀为"AB"(长度2) ``` **步骤4 (i=4, k=2)**: 比较P[i]('A')和P[k]('A'),匹配!k增加为3。 ``` P: A B A B A ↑ (i=4) k=2 → 匹配,k++ → k=3 next[4] = k = 3 # 最长公共前后缀为"ABA"(长度3) ``` **最终next数组**:$[-1, 0, 0, 1, 2]$(注意:实际计算中,当匹配失败时k会回退)。可视化关键:next数组的值表示当$P[j]$不匹配时,$j$应该回退到的位置,从而跳过冗余比较。引用[1]详细解析了这种可视化方法如何优化理解[^1]。 #### 3. **完整匹配过程示例** 使用文本"ABABAC"和模式串"ABABA"演示KMP匹配(next数组为$[-1, 0, 0, 1, 2]$): - **初始**:$i=0$, $j=0$,匹配"A" → $j=1$。 - **$i=1, j=1$**:匹配"B" → $j=2$。 - **$i=2, j=2$**:匹配"A" → $j=3$。 - **$i=3, j=3$**:匹配"B" → $j=4$。 - **$i=4, j=4$**:文本" A" vs 模式串"A" → 匹配!$j=5$(但模式串结束,匹配成功)。 - **如果失败**:例如文本为"ABABX",在$i=4$时失败: ``` 文本: A B A B X ↑ (i=4) 模式串: A B A B A ↑ (j=4) → 不匹配 j 回退到 next[4] = 2 → 新比较位置: 文本: A B A B X ↑ (i=4不变) 模式串: A B A B A ↑ (j=2) → 继续匹配 ``` 可视化优势:$i$不回溯,节省时间。 #### 4. **资源推荐** 为了更直观的学习,我推荐以下资源: - **视频教程**:引用[4]中的算法教学视频提供了KMP算法的动态图解,例如Bilibili上的《恋上数据结构》系列(链接:[算法教学视频](https://www.bilibili.com/video/BV1xa411H7wS/))[^4]。 - **交互式工具**:在线KMP可视化工具(如VisuAlgo)允许您输入自定义文本和模式串,实时观察next数组构建和匹配过程。 #### 总结 KMP算法通过next数组避免不必要的回溯,提升字符串匹配效率。其核心在于理解最长公共前后缀的可视化计算,如引用[1]所述,这能帮助您快速掌握算法本质[^1]。如果您有具体代码实现需求,我可以进一步提供Python示例。
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