二叉树理论碎碎记

二叉树的种类

在刷题的过程中，我们主要关注两种主要形式：满二叉树和完全二叉树。

满二叉树

如果一棵二叉树只有度为0的结点和度为2的结点，并且度为0的结点在同一层上，则这棵二叉树为满二叉树。如下图所示：

这棵二叉树为满二叉树，也可以说深度为k，有$2^k-1$个节点的二叉树。

完全二叉树

完整定义：在完全二叉树中，除了最底层节点可能没填满外，其余每层节点数都达到最大值，并且最下面一层的节点都集中在该层最左边的若干位置。若最底层为第 h 层（h从1开始），则该层包含 1~ 2^(h-1) 个节点。

二叉搜索树

前面介绍的树，都没有数值的，而二叉搜索树是有数值的了，二叉搜索树是一个有序树。

• 若它的左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值；
• 若它的右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值；
• 它的左、右子树也分别为二叉排序树

下面这两棵树都是搜索树

平衡二叉搜索树

平衡二叉搜索树：又被称为AVL（Adelson-Velsky and Landis）树，且具有以下性质：它是一棵空树或它的左右两个子树的高度差的绝对值不超过1，并且左右两个子树都是一棵平衡二叉树。如下图：

二叉树的存储方式

二叉树可以链式存储，也可以顺序存储。那么链式存储方式就用指针， 顺序存储的方式就是用数组。顾名思义就是顺序存储的元素在内存是连续分布的，而链式存储则是通过指针把分布在各个地址的节点串联一起。链式存储如图：

常见的是链式存储。而顺序存储的方式就是用数组来进行存储，具体为：

那么热如果父节点的数组下标为i，其左孩子的下标为$2\ast i+1$，右孩子为$2\ast i+2$。

二叉树的遍历方式

主要有两种遍历方式：

• 深度优先遍历：先往叶子结点的方向即深度方向走，遇到叶子结点再往回走
• 广度优先遍历：一层一层的遍历

那么进一步对这两种方式进行细分，可划分为：

• 深度优先遍历：
  • 前序遍历
  • 中序遍历
  • 后序遍历
• 广度优先遍历
  • 层次遍历

在其中的前序、中序、后序遍历中，这里的序其实指的是中间节点的遍历顺序，即：

• 前序遍历：中左右
• 中序遍历：左中右
• 后序遍历：左右中

从下图中可以更好地理解：

二叉树的定义

主要关注用链式存储的二叉树是如何定义的：

struct TreeNode {
    int val;
    TreeNode *left;
    TreeNode *right;
    TreeNode(int x) : val(x), left(NULL), right(NULL) {}
};

二叉树的递归遍历

在二叉树中很重要的一种遍历实现方式是通过递归来实现的。
那么在递归算法中，最重要的三要素是：

• 确定递归函数的参数和返回值：确定哪些参数是在递归过程中需要传递进行处理的，并且在递归完成之后哪些参数是需要返回的
• 确定终止条件：在递归算法中需要明确终止条件，防止无法终止导致栈溢出
• 确定单层递归的逻辑：确定在每层递归中我们需要做什么