由矩阵转置引发的一系列思考（线性代数的核心）_向量的转置和投影有关系吗-优快云博客

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本文探讨了矩阵转置的直观理解，从向量的投影角度解析转置矩阵，并深入讨论了对称矩阵的性质、特征值与特征向量的重要性。通过对矩阵乘法的不同视角，阐述了矩阵对称性和奇异值分解（SVD）在降维、矩阵对角化等应用中的作用，揭示了线性代数中基变换和空间映射的核心概念。

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在MATHEMATICS看到一个问题“矩阵转置的直观理解是什么？”最初只是想怎么更好的回答这个问题，顺带多写了一点，就有了这篇文章。

矩阵 $\mathop {\rm{A}}\nolimits_{m \times n}$ 把 $\mathop R\nolimits^n$ 空间的向量映射到 $\mathop R\nolimits^m$ 空间， $\mathop {\mathop A\nolimits^T }\nolimits_{n \times m}$ 把 $\mathop R\nolimits^m$ 空间的向量映射到 $\mathop R\nolimits^n$ 空间， $\mathop A\nolimits^T A$ 把 $\mathop R\nolimits^n$ 空间的向量变换到 $\mathop R\nolimits^n$ 空间。

提起映射我们首先想到的是函数，是的，矩阵不仅是函数，而且还是线性函数（向量空间是线性空间，只定义了加法和数乘两种运算），一种超级简单的初等函数。所有初等函数都有反函数，矩阵自然也不例外，矩阵的反函数就是矩阵的逆。

矩阵是用来描述空间变换的，空间最关键的是什么？基，没错，给我一组基，我就知道了这个空间的全部。同一个问题，选用不同的基描述，求解的复杂程度差别很大（矩阵对角化，就是以特征向量为基做了一次相似变换，大大简化了矩阵幂乘）。因此，基的选择是线性代数的核心问题。为了简化运算，必要时需要进行基变换，基变换是通过矩阵完成的，新的基对应着矩阵的列。

怎么直观理解矩阵转置呢？从向量角度看：转置即投影。n×1的向量对应着一个1×n的矩阵，该矩阵就是向量的转置。1×n的矩阵的作用：将空间中所有点都投影到该矩阵对应的向量上。

而矩阵无非是一个又一个向量按一定的规则组合在一起，更一般的，从向量空间的运算规则来看，矩阵满足加法和数乘，所以矩阵就是向量。这是矩阵的另一种理解方式。

A是一个m×n的矩阵，记： $\mathop {B = A}\nolimits^TA$ ， $\mathop A\nolimits^T$ 对角线元素是矩阵A列向量在自身的投影， $\mathop B\nolimits_{ij}$ 是A中第j列 $\mathop A\nolimits^T$ 第i行的投影， $\mathop B\nolimits_{ji}$ 是A中第i列在 $\mathop A\nolimits^T$ 中第j行的投影，由对称性得 $\mathop B\nolimits_{ij} = \mathop B\nolimits_{ji}$ ，所以 $\mathop A\nolimits^T A$ 是对称矩阵。（本段中所说的投影数值上不是很准确，B中元素正确计算过程：先投影，再和被投影向量相乘，为了描述的简洁，以及突出投影的作用，直接用投影代替）