Tower of Hanoi (递归的神奇之力--化繁为简)

本文介绍了一个经典的递归算法示例——汉诺塔问题,并提供了完整的C++代码实现。通过用户输入盘子的数量,程序将输出移动这些盘子所需的步骤。
/*		*Tower of Hanoi*		*/

#include <iostream>
using namespace std;

void move(char s, char d) {
	cout<<s<<"-->"<<d<<endl;
}

/*	s is source tower, d is target tower
	m is middle tower, n id the number of diskes	*/	
void hanoi(int n, char s, char m, char d) {
	if (n == 1)
		move(s, d);
	else {
		hanoi(n-1, s, d, m );
		move(s, d);
		hanoi(n-1, m, s, d);
		}
	}

int main() {
	int m;

	cout<<"Enter the number of diskes: ";
	cin>>m;
	cout<<"the steps to moving "<<m<<"diskes:"<<endl;

	hanoi(m, 'A', 'B', 'C');

	return 0;
}

### 问题分析 CSES - 2165 Tower of Hanoi 问题是经典的汉诺塔问题,目标是将 `n` 个盘子从一根柱子移动到另一根柱子,且在移动过程中大盘子不能放在小盘子上面。 ### 递归思路 可以使用递归的方法来解决汉诺塔问题。递归的基本思想是将问题分解为规模更小的子问题。具体步骤如下: 1. 将 `n - 1` 个盘子从起始柱子移动到辅助柱子。 2. 将第 `n` 个盘子从起始柱子移动到目标柱子。 3. 将 `n - 1` 个盘子从辅助柱子移动到目标柱子。 ### 代码实现 ```cpp #include <iostream> #include <vector> using namespace std; // 存储每一步的移动信息 vector<pair<int, int>> moves; // 递归函数,用于解决汉诺塔问题 void hanoi(int n, int source, int auxiliary, int target) { if (n == 1) { moves.emplace_back(source, target); return; } // 将 n-1 个盘子从 source 移动到 auxiliary hanoi(n - 1, source, target, auxiliary); // 将第 n 个盘子从 source 移动到 target moves.emplace_back(source, target); // 将 n-1 个盘子从 auxiliary 移动到 target hanoi(n - 1, auxiliary, source, target); } int main() { int n; cin >> n; // 调用递归函数解决汉诺塔问题 hanoi(n, 1, 2, 3); // 输出移动的步数 cout << moves.size() << endl; // 输出每一步的移动信息 for (const auto& move : moves) { cout << move.first << " " << move.second << endl; } return 0; } ``` ### 代码解释 1. **`hanoi` 函数**:这是一个递归函数,用于解决汉诺塔问题。它接受四个参数:`n` 表示盘子的数量,`source` 表示起始柱子,`auxiliary` 表示辅助柱子,`target` 表示目标柱子。 2. **递归终止条件**:当 `n` 等于 1 时,直接将盘子从起始柱子移动到目标柱子,并记录这一步的移动信息。 3. **递归步骤**:首先将 `n - 1` 个盘子从起始柱子移动到辅助柱子,然后将第 `n` 个盘子从起始柱子移动到目标柱子,最后将 `n - 1` 个盘子从辅助柱子移动到目标柱子。 4. **`main` 函数**:读取输入的盘子数量 `n`,调用 `hanoi` 函数解决汉诺塔问题,输出移动的步数和每一步的移动信息。 ### 复杂度分析 - **时间复杂度**:$O(2^n)$,因为每一次递归都会将问题规模缩小 1,总共需要进行 $2^n - 1$ 次移动。 - **空间复杂度**:$O(n)$,主要用于递归调用栈的空间。
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