<think>我们首先明确多尺度SSIM（MS-SSIM）的定义。根据引用[1]的描述，MS-SSIM是基于多尺度（多级二元金字塔）的结构相似性指数。其核心思想是在多个分辨率上计算SSIM，然后组合这些测量值。定义：给定一幅参考图像$x$和一幅待评估图像$y$，以及一个$M$层的图像金字塔（通常通过逐级下采样得到），MS-SSIM的公式为：$$MS\mhyphSSIM(x,y)=[l_M(x,y)]^{\alpha_M}\cdot\prod_{j=1}^{M}[c_j(x,y)]^{\beta_j}[s_j(x,y)]^{\gamma_j}$$其中：-$l_M$是在第$M$层（最粗糙层）计算的亮度比较函数。-$c_j$和$s_j$分别是在第$j$层计算的对比度和结构比较函数。-指数$\alpha_M,\beta_j,\gamma_j$用于调整各分量的相对重要性。通常，为了简化，可以设$\alpha_M=\beta_j=\gamma_j=1$，并且只使用最粗糙层的亮度比较，而对比度和结构比较在所有尺度上进行。另一种常见的简化是：$$MS\mhyphSSIM(x,y)=[l_M(x,y)]^{\alpha}\cdot\prod_{j=1}^{M}[c_j(x,y)s_j(x,y)]^{\beta_j}$$其中$\alpha$和$\beta_j$是根据实验确定的权重。接下来，我们将提供一个MATLAB实现MS-SSIM的代码。这个实现将基于以下步骤：1.构建图像金字塔（通常使用高斯金字塔，即先高斯滤波然后下采样）。2.从最粗糙层开始，计算该层的亮度比较（$l_M$）以及对比度和结构比较（$c_M,s_M$）。3.在每一层（除了最粗糙层）计算对比度和结构比较（$c_j,s_j$）。4.按公式组合所有尺度的结果。注意：在实现中，我们通常使用固定的权重，且通常将指数都设为1，因此公式简化为：$$MS\mhyphSSIM=l_M\cdot\exp\left(\sum_{j=1}^{M}\log(c_j\cdots_j)\right)$$或者，我们可以将各尺度的$c_j\cdots_j$相乘，然后乘以$l_M$。我们将参考Wang等人在2003年提出的多尺度SSIM方法，并按照以下参数设置：-尺度数M通常为5（从0到4，0是原始尺度，然后每层下采样）。-每一层的高斯滤波器窗口大小为$11\times11$，标准差为1.5。-常数C1、C2、C3用于避免分母为零（通常取小常数）。由于MATLAB没有内置的MS-SSIM函数，我们需要自己实现。以下代码基于上述思路。注意：为了简化计算，我们假设图像是灰度图像。如果是彩色图像，通常转换为灰度图像，或对每个通道分别计算然后取平均（但MS-SSIM通常用于灰度图像）。实现步骤：1.将输入图像转换为灰度（如果需要）。2.设置金字塔层数M（例如5）。3.设置高斯滤波器（使用fspecial或imgaussfilt）。4.初始化各层的权重（通常每一层对比度和结构比较的权重相等，且所有层的权重和为1；而最顶层的亮度比较权重单独设置，如0.0448，其他层的对比度结构组合权重为0.0448,0.2856,0.3001,0.2363,0.1333，这是Wang等人在2003年论文中使用的权重，但是也可以简化使用相等权重）。5.对每一层进行循环（从最精细层到最粗糙层）：-如果是第一次迭代（最精细层），则计算当前层的SSIM的三个分量（但注意，最顶层需要单独保留亮度分量）。-否则，通过下采样得到下一层图像。6.在每一层（除了最顶层）计算对比度和结构分量（注意，最顶层需要亮度分量）。7.计算乘积。由于代码较长，我们提供一个简化版本，使用固定5层，且使用Wang等人的权重。但是注意：由于Wang等人原始论文中的权重设置较为复杂，为了教学目的，我们可以使用相等权重（即每层的对比度和结构部分的权重相等，然后顶层亮度权重为1，这样乘积就变成了各层结构对比度分量的乘积再乘以顶层亮度分量）。但这里我们按照标准权重实现。以下代码中，我们使用预先计算的权重（来自Wang2003）：亮度权重：0.0448对比度结构权重：[0.0448,0.2856,0.3001,0.2363,0.1333]（注意：这些权重用于对比度结构乘积项，并且它们加起来等于1）但是注意，在MS-SSIM中，顶层（第5层）我们使用亮度分量乘以权重0.0448，然后其他每层的对比度结构乘积项乘以其对应的权重，最后全部相乘（指数权重已经包含在权重中，所以用加权乘积）。然而，原始论文中其实不是这样直接相乘，而是将权重作为指数，但为了与SSIM保持一致，他们使用了乘积的加权几何平均。在实现中，我们可以先将对比度结构分量（即c*s）进行加权几何平均，然后乘以亮度分量。但注意，在顶层，我们同时有亮度和对比度结构，但原始论文中只取顶层的亮度分量，而在其他层取对比度和结构分量。因此，顶层实际上只用了亮度分量，而其他层用了对比度和结构分量。为了更清楚，我们可以这样写：令$L$为最顶层的亮度分量（即$l_M$），$C_j$和$S_j$为第j层的对比度和结构分量，则MS-SSIM可以表示为：$$MS\mhyphSSIM=(L)^{\alpha}\cdot\prod_{j=1}^{M}(C_jS_j)^{\beta_j}$$其中$\alpha$和$\beta_j$就是上面给出的权重。注意，在顶层（第M层），我们只取亮度分量，而忽略该层的对比度和结构分量吗？实际上，在原始论文中，顶层的亮度分量是独立计算的，但该层同时也会计算对比度和结构分量，然而在公式中，顶层却没有使用自己的对比度和结构分量（因为公式中乘积的索引j是从1到M，而顶层是第M层，所以也包括在内）。这里需要澄清：在公式中，每个尺度j都包含对比度和结构分量，但亮度分量只在最粗糙层（第M层）计算一次。所以，顶层也会参与对比度和结构分量的计算。因此，我们每一层都要计算对比度和结构分量，而亮度分量只在最高层计算一次（但注意，在原始SSIM中，每一层计算时都会得到三个分量，但最后组合时，我们只使用顶层的亮度分量和所有层的对比度、结构分量？）实际上，根据Wang2003论文的公式(7)：$$MS\mhyphSSIM(x,y)=[l_M(x,y)]^{\alpha_M}\cdot\prod_{j=1}^{M}[c_j(x,y)]^{\beta_j}[s_j(x,y)]^{\gamma_j}$$这里，$l_M$只在第M层计算，而对比度和结构分量在每一层（包括j=1到M）都计算。注意，这里的层索引j=1表示最精细层，j=M表示最粗糙层。所以，在实现中，我们需要在每一层（共M层）都计算对比度和结构分量，而亮度分量只在最粗糙层（第M层）计算。因此，实现步骤修改为：1.从最精细层（原始图像）开始，不断下采样得到M层图像（包括原始层，共M层）。2.对于每一层图像，计算对比度和结构分量（但注意，最粗糙层还需要额外计算亮度分量，因为公式中亮度分量只在这一层用）。3.然后，取最粗糙层的亮度分量，并乘以其他层的对比度结构分量（包括最粗糙层自己的对比度和结构分量）的加权几何平均（用指数权重）。所以，在每一层j，我们计算：-对比度分量：$c_j=\frac{2\sigma_{x,j}\sigma_{y,j}+C_2}{\sigma_{x,j}^2+\sigma_{y,j}^2+C_2}$-结构分量：$s_j=\frac{\sigma_{xy,j}+C_3}{\sigma_{x,j}\sigma_{y,j}+C_3}$（注意：在标准SSIM中，C3一般取C2/2）而在最粗糙层（j=M）额外计算：-亮度分量：$l_M=\frac{2\mu_x\mu_y+C_1}{\mu_x^2+\mu_y^2+C_1}$然后，按照权重组合。但是，在原始论文中，他们使用的是：$$MS\mhyphSSIM(x,y)=[l_M(x,y)]^{\alpha_M}\cdot\prod_{j=1}^{M}[c_j(x,y)s_j(x,y)]^{\beta_j}$$其中，$\beta_j$是各层的权重（且$\sum_{j=1}^{M}\beta_j=1$），$\alpha_M$是顶层亮度分量的权重（这里他们使用了经验值0.0448）。所以，我们可以这样计算：mssim=(l_M^alpha_M)*prod((c_j.*s_j).^beta_j)forjfrom1toM注意：每一层都计算了c_j和s_j，而只有最顶层计算了l_M。因此，我们开始写代码。由于代码较长，我们采用逐步生成图像金字塔的方式，并在每一层计算局部统计量（均值和方差，协方差）以计算各分量。我们将使用以下参数：-K=[0.010.03]用于计算C1,C2-window=高斯滤波器，大小为11×11，标准差1.5-weights=[0.04480.28560.30010.23630.1333];%5层的权重（用于对比度结构项）-alpha=0.0448;%顶层亮度分量的权重注意：这里权重是对比度结构分量的权重，而顶层亮度分量的权重alpha与这些权重无关。但是，在公式中，对比度结构分量的乘积是各个尺度的(c_js_j)的beta_j次方相乘，然后乘以亮度分量的alpha_M次方。因此，这里顶层亮度分量的权重alpha_M等于0.0448，而对比度结构分量在每一层的权重beta_j如上数组。然而，在原始论文中，他们使用的顶层亮度权重就是0.0448，而其他各层的对比度结构权重是上面那个数组（每个元素对应一层，从最精细到最粗糙）。所以，当我们有5层时，beta_j有5个权重（和上面数组一样），而alpha_M=0.0448。但是，这样计算的话，MS-SSIM的值会非常小（因为所有分量都是小于1的数，而且还要乘方很小的权重），因此，我们需要重新检查原始论文。实际上，在论文中，他们使用的指数权重是用于加权几何平均，所以最终指数为1的权重相当于对数值求加权平均然后取指数。然而，在实现中，我们可以将指数权重作为乘积的权重（即每个分量的beta_j次方），最后再乘以亮度分量的alpha_M次方。这里我们直接按照公式实现。具体步骤：1.设置参数：M=5;%5层K=[0.01,0.03];C1=(K(1)*255)^2;%动态范围如果是255，则255^2；如果是1，则1^2，这里我们假设图像是uint8，所以动态范围255C2=(K(2)*255)^2;C3=C2/2;%根据原论文，结构分量中的常数C3=C2/22.生成高斯滤波器：window=fspecial('gaussian',11,1.5);window=window/sum(window(:));3.权重设置：weight_contrast_structure=[0.0448,0.2856,0.3001,0.2363,0.1333];%从最精细层（第1层）到最粗糙层（第5层）weight_luminance=0.0448;%用于顶层（第5层）的亮度分量4.初始化图像金字塔：img1=double(ref_img);%参考图像img2=double(test_img);%待评估图像5.初始化乘积项数组（用于存储每一层的对比度结构乘积）：mcs=zeros(1,M);%mcs:multi-scalecontrastandstructure6.从最精细层开始，循环M次（生成M层，从0到M-1，或者从1到M，这里我们用1到M表示最精细到最粗糙）第一层是原始图像，第二层是原始图像下采样，以此类推。我们使用imresize进行下采样，每次缩小一倍。7.对于每一层（第i层，i从1到M）：a.计算当前层的局部统计量（使用卷积）：mu1=filter2(window,img1,'valid');mu2=filter2(window,img2,'valid');mu1_sq=mu1.*mu1;mu2_sq=mu2.*mu2;mu1_mu2=mu1.*mu2;sigma1_sq=filter2(window,img1.*img1,'valid')-mu1_sq;sigma2_sq=filter2(window,img2.*img2,'valid')-mu2_sq;sigma12=filter2(window,img1.*img2,'valid')-mu1_mu2;b.根据当前层的序号，我们计算对比度分量（c）和结构分量（s）：c=(2*sigma12+C2)./(sigma1_sq+sigma2_sq+C2);s=(sigma12+C3)./(sqrt(sigma1_sq.*sigma2_sq)+C3/2);%注意：这里分母的写法有变化，但原始论文中结构分量用的是相关系数，所以分母是sigma1和sigma2的乘积。另外，C3的加入方式，通常分母的常数项是C3，但这里我们按照（sigma1_sq*sigma2_sq）的平方根加上C3/2？实际上，标准SSIM的结构分量是：s=(sigma12+C3)/(sqrt(sigma1_sq*sigma2_sq)+C3)。所以，这里使用：%修正：结构分量应写成：%s=(sigma12+C3)./(sqrt(sigma1_sq).*sqrt(sigma2_sq)+C3);%但为了数值稳定性，我们使用：s=(sigma12+C3)./(sqrt(sigma1_sq.*sigma2_sq)+C3);c.计算当前层的对比度结构乘积：cs=c.*s;d.计算当前层cs的平均值（作为该层的整体对比度结构值）：mcs_i=mean(cs(:));e.将mcs_i存入mcs(i)f.如果是顶层（第M层），则额外计算亮度分量：l=(2*mu1_mu2+C1)./(mu1_sq+mu2_sq+C1);l_M=mean(l(:));g.如果不是最后一层，则对当前图像进行下采样（为下一层做准备）：img1=imresize(img1,0.5,'bilinear');img2=imresize(img2,0.5,'bilinear');8.计算MS-SSIM：首先，计算对比度结构部分的加权几何平均：mcs_prod=prod(mcs.^weight_contrast_structure);%对每一层的mcs进行加权（指数为对应层的权重）然后相乘。然后，乘以顶层亮度分量的权重：ms_ssim=(l_M^weight_luminance)*mcs_prod;但是，这里注意：我们在第7步的f中，只计算了第M层的亮度分量。但是，在mcs数组中，第M层对应mcs(M)，而mcs(M)包含了第M层的对比度结构分量。这意味着，我们在第M层同时使用了亮度分量和对比度结构分量？这与公式一致。然而，在公式中，亮度分量只用于第M层，而其他层只用对比度结构分量。所以，上面的计算是正确的。但是，我们也可以看到，在每一层我们都计算了对比度结构分量，包括第M层。所以，整个流程正确。下面我们提供MATLAB代码实现：注意：为了提高效率，我们可能希望避免在每一层都使用全尺寸的高斯滤波，因为图像金字塔会逐步缩小。另外，我们使用双线性下采样。另外，由于我们只在有效区域进行卷积（filter2(...,'valid')），所以边界没有被填充。为了保持图像大小一致，我们可以在每一层先对图像进行镜像填充，使卷积后大小不变，然后再下采样。但这里为了简单，我们直接使用'valid'模式，然后在计算平均值时只取中心部分。但这样会丢弃边界。或者，我们可以使用整个图像区域（去掉边界后）。为了避免边界问题，我们可以使用对称填充（在调用filter2之前填充图像）。但是，由于MS-SSIM对边界不敏感（而且下采样会减少边界影响），我们这里不填充。代码实现如下（注意：我们假设输入图像是灰度图像，且是double类型，值在0-255之间）：</think>
### 多尺度结构相似性指数 (MS-SSIM) 定义
MS-SSIM 是对经典 SSIM 的改进，通过在多个尺度上分析图像结构相似性来更符合人类视觉感知。给定参考图像 $x$ 和待评估图像 $y$，其定义如下：
1. **图像金字塔构建**
生成 $M$ 级高斯金字塔，通过迭代应用高斯滤波和下采样：
$$x_1 = x, \quad x_{k} = \downarrow_2 \!(x_{k-1} * G_\sigma)$$
其中 $\downarrow_2$ 表示下采样率，$G_\sigma$ 是高斯核，$\sigma$ 控制平滑度（通常 $\sigma = 1.5$）[^1]。
2. **多尺度分量计算**
从最粗糙层（$k = M$）到最精细层（$k = 1$）计算：
$$ \begin{cases}
l_M(x,y) & = \dfrac{2\mu_x \mu_y + C_1}{\mu_x^2 + \mu_y^2 + C_1} \\
c_k(x,y) & = \dfrac{2\sigma_x \sigma_y + C_2}{\sigma_x^2 + \sigma_y^2 + C_2} \\
s_k(x,y) & = \dfrac{\sigma_{xy} + C_3}{\sigma_x \sigma_y + C_3}
\end{cases} $$
其中 $\mu,\sigma$ 分别为局部均值和标准差，$\sigma_{xy}$ 为协方差，$C_i$ 为稳定常数。
3. **最终融合**
各尺度分量加权组合：
$$ MS\text{-}SSIM(x,y) = [l_M(x,y)]^{\alpha_M} \cdot \prod_{k=1}^{M} [c_k(x,y)]^{\beta_k} [s_k(x,y)]^{\gamma_k} $$
其中指数 $\alpha_M, \beta_k, \gamma_k$ 控制各分量权重（通常取 $\alpha_M = \beta_k = \gamma_k = 1$）。
---
### MATLAB 实现代码
```matlab
function mssim = ms_ssim(img1, img2, K, win_size, level, weight, sigma)
% 输入参数:
% img1, img2: 灰度图像 (范围 0-255)
% K: 稳定常数 [k1 k2] (默认 [0.01 0.03])
% win_size: 滑动窗口大小 (默认 11)
% level: 金字塔层数 (默认 5)
% weight: 各层权重向量 (默认 [0.0448 0.2856 0.3001 0.2363 0.1333])
% sigma: 高斯核标准差 (默认 1.5)
%
% 输出: MS-SSIM 指数值 (0-1, 1表示完全匹配)
% 参数初始化
if nargin < 3 || isempty(K)
K = [0.01 0.03];
end
if nargin < 4 || isempty(win_size)
win_size = 11;
end
if nargin < 5 || isempty(level)
level = 5;
end
if nargin < 6 || isempty(weight)
weight = [0.0448 0.2856 0.3001 0.2363 0.1333];
end
if nargin < 7 || isempty(sigma)
sigma = 1.5;
end
% 创建高斯窗口
window = fspecial('gaussian', win_size, sigma);
window = window / sum(window(:)); % 归一化
% 动态范围 (假设8-bit图像)
L = 255;
C1 = (K(1)*L)^2;
C2 = (K(2)*L)^2;
C3 = C2/2; % 根据引用[1]建议
% 构建图像金字塔
pyr1{1} = img1;
pyr2{1} = img2;
for s = 2:level
pyr1{s} = imresize(img1, 0.5^(s-1), 'bilinear');
pyr2{s} = imresize(img2, 0.5^(s-1), 'bilinear');
end
% 从最粗糙层开始计算
mssim_map = cell(1,level);
for s = level:-1:1
[mssim_map{s}, ~, ~, cs_map] = ssim_index(pyr1{s}, pyr2{s}, K, window, C1, C2, C3);
% 最顶层存储亮度分量
if s == level
luminance = mssim_map{s};
end
end
% 加权组合各尺度分量
mssim = weight(level) * mean2(luminance);
for s = 1:level-1
mssim = mssim * weight(s) * mean2(cs_map{s});
end
end
% 单尺度SSIM计算子函数
function [mssim, l_map, c_map, s_map] = ssim_index(img1, img2, K, window, C1, C2, C3)
% 计算局部统计量
mu1 = filter2(window, img1, 'valid');
mu2 = filter2(window, img2, 'valid');
mu1_sq = mu1.*mu1;
mu2_sq = mu2.*mu2;
mu1_mu2 = mu1.*mu2;
sigma1_sq = filter2(window, img1.*img1, 'valid') - mu1_sq;
sigma2_sq = filter2(window, img2.*img2, 'valid') - mu2_sq;
sigma12 = filter2(window, img1.*img2, 'valid') - mu1_mu2;
% 亮度分量
l_map = (2*mu1_mu2 + C1) ./ (mu1_sq + mu2_sq + C1);
% 对比度分量
c_map = (2*sqrt(sigma1_sq.*sigma2_sq) + C2) ./ (sigma1_sq + sigma2_sq + C2);
% 结构分量
s_map = (sigma12 + C3) ./ (sqrt(sigma1_sq.*sigma2_sq) + C3);
% 组合分量
mssim_map = l_map .* c_map .* s_map;
mssim = mean2(mssim_map);
end
```
### 使用示例
```matlab
ref = imread('reference.jpg'); % 参考图像
test = imread('test.jpg'); % 待评估图像
% 转换为灰度图
ref_gray = rgb2gray(ref);
test_gray = rgb2gray(test);
% 计算 MS-SSIM
score = ms_ssim(double(ref_gray), double(test_gray));
disp(['MS-SSIM = ', num2str(score)]);
```
### 关键参数说明
1. **高斯核设计**
$\sigma = 1.5$ 平衡了局部特征敏感性和噪声鲁棒性。$\sigma$ 过小会引入噪声敏感，过大则忽略细节（如引用[1]所述）[^1]。
2. **多尺度权重**
默认权重 `[0.0448 0.2856 0.3001 0.2363 0.1333]` 来自人眼视觉特性研究，精细层赋予更高权重以保留纹理细节[^2]。
3. **稳定常数**
$K_1 = 0.01$, $K_2 = 0.03$ 防止分母为零，其取值基于图像动态范围（8-bit图像 $L=255$）[^1]。
---
### 优化建议
1. **医学图像适配**
```matlab
% 调整金字塔层数（层数过多会弱化病理特征）
mssim_medical = ms_ssim(img1, img2, [0.01 0.03], 11, 3);
```
2. **硬件加速**
用并行计算处理金字塔层：
```matlab
parfor s = 1:level
% 各层独立计算
end
```
3. **与深度学习结合**
如引用[3]所述，可将 MS-SSIM 嵌入损失函数：
$$ \mathcal{L}_{total} = \lambda_1 \mathcal{L}_{MS-SSIM} + \lambda_2 \mathcal{L}_{L1} $$
---
本文介绍了一种计算数组中所有符合条件的连续子数组的乘积之和的方法，当这些子数组的乘积小于给定阈值k时。通过使用滑动窗口技术，该算法实现了高效求解。
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