洛谷P2822（利用前缀和优化查询）

最新推荐文章于 2023-11-19 14:59:58 发布

Spidy_harker

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分类专栏：组合数学文章标签：组合数

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该博客介绍了洛谷P2822题目的解决方案，重点讲解了如何利用组合数的递推公式c(m,n)=c(m-1,n-1)+c(m-1,n)和前缀和优化查询技术，将查询复杂度降低到O(1)。博客详细阐述了一维和二维数组前缀和的概念，并提供了计算前缀和的公式以及相关代码实现。" 121773515,11374578,《深圳市龙华区技能人才扶持办法》政策详解,"['政策解读', '人力资源', '龙华区']

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题目

题解

本题主要知识点如下：

1.组合数的递推公式：c(m,n)=c(m-1,n-1)+c(m-1,n)

2.用前缀和优化查询：将复杂度从O(n)降到O(1)

前缀和：
1）一维数组的前缀和：sum[i]=a[0]+…+a[i];
2）二维数组的前缀和；sum[i][j]为左上角(0,0)到右下角(i,j)矩形中的所有a[ ][ ]的和
在这里插入图片描述
那么前缀和sum[i][j]就等于蓝的矩阵sum[i-1][j]加上绿的矩阵sum[i][j-1]，再减去重叠面积sum[i-1][j-1]，最后加上小方块

即：sum[i][j] = sum[i][j - 1] + sum[i - 1][j] - sum[i - 1][j - 1] + a[i][j] (记忆口诀：上加左减左上加自己）

代码：

#include <iostream>

using namespace std;
typedef long long ll;
int  c[2005][2005];
int ans[2005][2005];
int n,m,k;
void C(int n)///打表求c[i][j],ans[i][j]一起求出来
{
    for(int i=0;i<=n;i++) c[i][i]=c[i][0]=1;
    for(int i=2; i<=n; i++)
    {
        for(int j=1; j<=i; j++)///j要=i，因为ans[i][i]也要求出值
        {
            c[i][j]=(c[i-1][j-1]+c[i-1][j])%k;
            ans[i][j]=ans[i][j-1]+ans[i-1][j]-ans[i-1][j-1];///求前缀和，加自己a[i][j]，放在下面的if里了
            ///只有当c[i][j]==0,a[i][j]才=1，即c[i][j]才需要加一
            if(c[i][j]==0) ans[i][j]++;///若整除，则ans++
        }
        ans[i][i+1]=ans[i][i];
        ///继承，因为ans[i+1][j+1]上方的值(当成矩阵来看）应为ans[i][j+1]=ans[i][i]
        ///没赋值时为0
    }
    //cout<<c[7][2];
}
int main()
{

    int T;cin>>T>>k;
    C(2000);
    while(T--)
    {
        int n,m;
        cin>>n>>m;
        if(m>n) cout<<ans[n][n]<<endl;
        else cout<<ans[n][m]<<endl;
    }
    return 0;
}