求n!中质因子p的个数

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#数论

1.暴力求解法：从1到n一个一个质因数分解，复杂度O（nlog（n）），太高了

2.现在我们考虑另一种解法

在这里插入图片描述
如上图可知含有2的因子的数为n/p，含有22的因子的数有n/22个，以此类推。

int cal(int n,int p)
{
	int ans=0;
	while(n)
	{
		ans+=n/p;
		n/=p;
	}
	return ans;
}
n!的任意质因数的个数
李的博客
06-18 1142
n! = 123*…*n 首先分析质因数2的个数 参考文献：https://www.cnblogs.com/daifei/p/3766015.html 算法：N!质因数2的个数 = [N / 2] + [N / 4] + [N / 8] + … 推理： 将1.2.3…n的n个数以212^121的间距从1 开始划分。则在第一条数轴上的每一个能够整除212^121的点都至少有一个质因数2.则n!的...
Wannafly挑战赛25 A 因子（n!中p的个数）
swineherd的博客
10-18 229
题意：链接：https://www.nowcoder.com/acm/contest/197/A 来源：牛客网 令 X = n!, 给定一大于1的正整数p 求一个k使得 p ^k | X 并且 p ^(k + 1) 不是X的因子。 思路：转化成求X含多少p，p可以分解成2^a*3^b*……，就可以转化成求X里2的个数，2的个数……，比如样例2的n=10000 p=12，那么p=2^2*3，然后看...
【算法杂记】n!的质因子p的个数
...
04-21 1012
n!代表n的阶乘 1、简单的对n!中的每个数字（共n个）计算其质因子p的个数 2、公式法：n!中质因子p的个数为=（n/p+n/p2+n/p3+…） 实现： 1、低阶版 int cal (int n;int p){ int ans=0; for(int i=2;i<=n;i++){ int temp=i; while（temp%p==0){ ans++; temp/=...
计算n!中质因子p的个数
weixin_43370733的博客
12-31 309
#include <stdio.h> int cal(int n,int p) {//计算n!中有多少个质因子p int ans=0; while(n!=0) { ans+=n/p; n/=p; } return ans; }
如何计算n!所含质因子p的数量
ComingLiu的博客
04-12 1317
问题引入和简单分析 对于质数，大家应该都不陌生，现在有一个问题，如果给定我们正整数nnn和ppp，如何求出n!n!n!里面有多少个质因子ppp 可以仔细考虑一下，根据唯一分解定理，任何一个大于1的正整数都能够写成若干个质数乘积的形式，所以如果n!∣pn!|pn!∣p，我们可以一直除下去直到不能整除，这时候能除多少次就有多少个质因子ppp 上述思路是容易的，但是不能忽略一个重要问题，C++能够表示的数据并不是无限大的，n!n!n!又是一个非常大的数，那么在不能直接得到n!n!n!的时候，能不能直接求出这个答
求n!中含有质因子p的个数
X丶 的博客
01-19 1002
定理：中含有质因子p的个数为,其中 int cal(int n, int p) { int ans = 0; while (n != 0) { ans += n / p; n /= p; //相当与分母多乘一个p } return ans; }
n!的特定质因子个数问题
终成大师的博客
07-29 516
n！问题 给定一个数的阶乘，让你求有多少个质因子p。 常规算法 直接枚举n的阶乘的数，然后求出每一数所含有的质因子p，然后相加即可 int cal(int n,int p)//常规算法 { int counts=0; for(int i=2;i<=n;i++) { int temp=i; while(temp%p==0) { counts++; temp/=p; }
C++实现N!的质因子分解
02-26
【算法1-1-2】唯一的缺点是在计算各个质因子的个数的过程中无法同时生成质数表，因此质数表需要事先提供或另行计算。从这个例子中可以看到，在相同的数据结构上可以采用不同的算法，并产生不同的效果。 有时，算法的...
组合数（阶乘的质因子的个数，组合数的计算）
qq_51825761的博客
07-22 308
的Pi的个数，个数分别为下，x,y,z.则C(n,m)中质因子Pi的个数为(x-y-z);将C(n,m)进行质因子分解，对遍历不超过n的质数Pi分别计算。通过定义式计算将C(n,m)进行质因子分解；支持n
质因子分解详解
m0_72674633的博客
05-27 1470
质因子分解知识和经典题目详解
求n!中有多少个质因子p
m0_46161993的博客
02-09 1105
方法一：   遍历1~nnn，求出每个数包含几个质因子ppp，然后再相加即可。   时间复杂度为：O(nlogn)O(nlogn)O(nlogn)。 代码如下： int cal(int n, int p){ int ans = 0; for(int i = 2; i <= n; i++){ //遍历2~n int temp = i; while(temp % p == 0){ ...
求n!中某个因子个数【模板】
*乘号的笔记本
01-23 562
Problem B: Zhazhahe究竟有多二 Description Zhazhahe竟然能二到把耳机扔到洗衣机里去洗，真的是二到了一种程度，现在我们需要判断一下zhazhahe二的程度（就是计算zhazhahe的脑残值有几个2的因子），下面给你一个n，n!表示zhazhahe的脑残值。 Input 输入一个正整数t(0表示样例组数，每组样例输入一个正整
计算 n! 中末尾0的个数 求n！中p的重数
pxlsdz的博客
08-06 546
题意： 输入正整数n，计算 n! 中末尾0的个数  输入：输入一个正整数n （1≤n≤1 000 000 000）  输出：输出 n! 末尾0的个数           样例输入：3                             100                             1024           样例输出：0                   ...
n!中质因子p的个数
weiambt的博客
04-17 1483
题目：求n的阶乘中质因子p的个数 方法1： 枚举i从1~n，找到每i的p因子个数，所有项的总个数就是n!的p因子的个数，时间复杂度为O(nlogn)。 int divide(int n,int p){ int cnt=0; for(int i=1;i<=n;i++){ int temp=i; while(temp%p==0){ cnt++; temp/=p; } } retu
N!中素因子p的个数 【数论】
weixin_33895016的博客
12-12 811
求N!中素因子p的个数，也就是N!中p的幂次 公式为：cnt=[n/p]+[n/p^2]+[n/p^3]+...+[n/p^k]; 例如：N=12,p=2 12/2=6,表示1~12中有6个数是2的倍数，即2,4,6,8,10,12 12/2^2=6/2=3，表示1~12中有3个数是4的倍数，即4,8,12，它们能在提供2的基础上多提供一个2 12/2^3=3/2=1，表示1~12中有1...
NEFU 119 组合素数 （n！素因数p的幂的求法）
pxlsdz的博客
08-06 925
组合素数 Problem : 119 Time Limit : 1000ms Memory Limit : 65536K description   小明的爸爸从外面旅游回来给她带来了一个礼物，小明高兴地跑...
n!素因子分解2
skymeteorite
08-02 661
有的时候我们需要对n!进行素因子分解，如果我们对1~n的每一个数都进行素因子分解然后再进行合并的话那么显然是很慢的因此我们需要重新来考虑这个问题。 我们对n!进行素因子分解： n! = 1*2*3*4*…*n,因此它一定含有小于等于n 的所有素数我们要对这些素数分别进行处理求出含有多少项。 例如我们求n!含有多少个素因子p 设f[n][p] 表示n!含有多少素因子p； 1*2*3*4*…n
快速求n!的质因数及个数
0ng的博客
04-28 1723
一般要进行质因数分解时，我们是for循环对每个数进行质因数分解，但少数的情况下，数字太大了，题目不允许这样的做法，所以我们需要学会一种更快的方法来求质因数。 我们来一个样例说明一下： 123456789我们求得在9!中2的个数1234首先我们计算出2的倍数的个数：8/2=412其次我们计算出4的倍数的个数：8/4=21最后我们解出第三层的2的个数：8/8=1 \begin{mat...
n! 中质因数的指数（加证明过程） 质因数分解
lgw999jyx的博客
04-14 2942
提出问题：求阶乘的标准分解式中素因数的指数？ 先说结论，定理如下: 简单证明 设 pow(p,k-1)<= n < pow(p,k) 有： m = p*t[1]+r[1] (0<=r[1]<p) (除法的基本原理，t[1] r[1] 中的[1]代表下标，下同） t[1] = p*t[2]+r[2] (0<=r[1]<p) …...
怎么求100!中所有因子的个数
最新发布
07-20
计算100!中所有因子的个数涉及两个主要步骤：首先确定100!的质因数分解形式，然后利用质因数分解的结果计算所有因子的总数。 ### 1. 质因数分解 100!表示从1到100所有整数的乘积，即 $100! = 1 \times 2 \times 3 \times \cdots \times 100$。为了计算100!中所有因子的个数，需要首先找到100!的质因数分解形式。质因数分解的基本思想是，对于每个质数 $p$，计算其在100!中的出现次数。具体方法是利用公式： $$ \text{次数} = \left\lfloor \frac{100}{p} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{100}{p^2} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{100}{p^3} \right\rfloor + \cdots $$ 其中 $\left\lfloor x \right\rfloor$ 表示不超过 $x$ 的最大整数（向下取整）。这个公式可以计算出每个质数 $p$ 在100!中的总出现次数。 例如，对于质数2： $$ \left\lfloor \frac{100}{2} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{100}{4} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{100}{8} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{100}{16} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{100}{32} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{100}{64} \right\rfloor = 50 + 25 + 12 + 6 + 3 + 1 = 97 $$ 类似地，可以计算其他质数的出现次数。 ### 2. 计算所有因子的个数 假设100!的质因数分解形式为： $$ 100! = p_1^{a_1} \times p_2^{a_2} \times \cdots \times p_k^{a_k} $$ 其中 $p_1, p_2, \ldots, p_k$ 是质数，$a_1, a_2, \ldots, a_k$ 是对应的指数。 根据数论中的一个定理，如果一个数的质因数分解形式为 $n = p_1^{a_1} \times p_2^{a_2} \times \cdots \times p_k^{a_k}$，那么 $n$ 的正因子总数为： $$ (a_1 + 1) \times (a_2 + 1) \times \cdots \times (a_k + 1) $$ ### 3. 具体计算 对于100!，首先需要计算所有质数 $p$ 在100!中的出现次数 $a_i$，然后将每个 $a_i + 1$ 相乘，得到100!的正因子总数。 例如，对于质数2、3、5、7等，分别计算它们的指数，然后相乘： - 2的指数是97，因此 $97 + 1 = 98$ - 3的指数是48，因此 $48 + 1 = 49$ - 5的指数是24，因此 $24 + 1 = 25$ - 7的指数是16，因此 $16 + 1 = 17$ 最终结果为： $$ 98 \times 49 \times 25 \times 17 \times \cdots $$ ### 4. 代码实现 以下是一个简单的C++代码示例，用于计算100!中所有因子的个数： ```cpp #include <iostream> #include <vector> #include <cmath> using namespace std; // 判断是否为质数 bool isPrime(int n) { if (n <= 1) return false; for (int i = 2; i <= sqrt(n); i++) { if (n % i == 0) return false; } return true; } // 计算n!中质数p的指数 int countExponent(int n, int p) { int count = 0; while (n > 0) { n /= p; count += n; } return count; } int main() { int n = 100; vector<int> primes; // 找出所有小于等于n的质数 for (int i = 2; i <= n; i++) { if (isPrime(i)) { primes.push_back(i); } } // 计算每个质数的指数 long long totalFactors = 1; for (int p : primes) { int exponent = countExponent(n, p); totalFactors *= (exponent + 1); } // 输出结果 cout << "100! 的正因子总数为: " << totalFactors << endl; return 0; } ``` ###
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