2024 第十五届蓝桥杯省赛 Java A 组（省一）

省一：

目前，C ~ F 题已经在 dotcpp 取得 AC，G 和 H 题已知解法错误：

A. 拼正方形

题目描述

有 7385137888721 个 $2\times 2$ 的方块和 10470245 个 $1\times 1$ 的方块，求能拼出的正方形的最大边长。

解题思路

用 $1\times 1$ 的方块给已经用 $2\times 2$ 的方块拼成的大正方形“镶边”，每次使其边长加 $1$。

public class Main {
    public static void main(String[] args) {
        final long SQ2 = 7385137888721L;
        final long SQ1 = 10470245L;
        
        // 用 2x2 的方块拼成一个大正方形
        long ans = (long) Math.sqrt(SQ2) * 2;
        
        // 用 1x1 的方块镶边
        long sq1 = SQ1;
        while (true) {
            if ((sq1 -= ans * 2 + 1) < 0) break;
            ans++;
        }
        
        System.out.println(ans);
    }
}

输出：

5435122

答案

5435122

B. 召唤数学精灵

题目描述

计算 $i$ 的数量，满足：

• 1 $\le i\le$ 2024041331404202
• $A(i)-B(i)\mathrm{mod}100=0$

其中，$A(x)=\mathrm{sum}(1,x)$，$B(x)=x!$。

解题思路

观察到 $\forall i\ge 100$，$B(i)\mathrm{mod}100=0$（赛后发现 $\forall i\ge 10$ 即可），那么算式 $A(i)-B(i)\mathrm{mod}100=0$ 就化简为 $A(i)\mathrm{mod}100=0$。

考虑 $\mathrm{sum}(1,200)=20100$，$20100\mathrm{mod}100=0$，可以以 $200$ 为一个周期，计算一个周期内 $A(i)\mathrm{mod}100=0$ 的次数，与周期数相乘。

将 1 ~ 2024041331404202 拆成 1 ~ 200 和 201 ~ 2024041331404202 两部分：

• 第一部分的特殊之处在于 $i=1$ 和 $i=3$，它们都满足要求，而之后的例如 $i=201$ 和 $i=203$ 都不满足要求，因此额外加 $2$。
• 第二部分以每 $200$ 一个周期，算得周期内有 $4$ 个 $i$ 满足要求（代码略），乘以总周期数。

public class Main {
    public static void main(String[] args) {
        final long ed = 2024041331404202L;
        
        // 分别计算两部分答案
        long ans1 = 4 + 2;
        long ans2 = (ed - 200) / 200 * 4;
        
        System.out.println(ans1 + ans2);
    }
}

输出：

40480826628086

答案

40480826628086

C. 数字诗意

题目描述

输入 n 个数字，输出其中无法被表示为连续多个（至少 2 个）正整数之和的数字个数。

输入输出示例

输入共 2 行，第 1 行含一个正整数 n，第 2 行含 n 个正整数 x：

3
3 6 8

范围：

• $1\le$ n $\le 2\times 10^5$
• $1\le$ x $\le 1\times 10^{16}$

输出一个整数表示答案：

1

解释：

• 3 = 1 + 2
• 6 = 1 + 2 + 3
• 8 无法表示为连续多个正整数之和

解题思路

手写 / 暴力打一个小表，下划线 _ 表示无法表出的数字：

 _  _  3  _  5
 6  7  _  9 10
11 12 13 14 15
_  17 18 19 20

找规律，发现只有 $2^n$ 无法表出。

记 long 内最大的 $2^n$ 为 POW，对输入的每个数 x，POW % x == 0 时答案加 1。

答案

import java.util.*;
import java.io.*;

public class Main {
    public static void main(String[] args) throws IOException {
        BufferedReader in = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
        PrintWriter out = new PrintWriter(System.out);
        
        final long POW = 1L << 62;
        int n = Integer.parseInt(in.readLine());
        
        StringTokenizer st = new StringTokenizer(in.readLine());
        int ans = 0;
        while (n-- > 0) {
            if (POW % Long.parseLong(st.nextToken()) == 0) ans++;
        }
        out.println(ans);
        
        out.flush();
        out.close();
    }
}

D. 回文数组

题目描述

输入一个长为 n 的数组，输出使其变得回文的最少操作次数。

在 1 次操作中，可以二选一：

• 选择一个元素，对其增减 $1$
• 选择相邻的两个元素，对其增减 $1$

输入输出示例

输入共 2 行，第 1 行含一个正整数 n，第 2 行含 n 个正整数 x：

4
1 2 3 4

范围：

• $1⩽$ n $⩽1\times 10^5$
• $-1\times 10^6⩽$ x $⩽1\times 10^6$

输出一个整数表示答案：

3

解释：

• 第 1 次操作后：[2, 3, 3, 4]
• 第 2 次操作后：[3, 3, 3, 4]
• 第 3 次操作后：[4, 3, 3, 4]，已经是回文

解题思路

双指针 i、j 从两端向中间看，每次先用“操作 1”使 arr[i] == arr[j]，然后看 arr[i+1] 和 arr[j-1] 是否与它们同号，如果同号，可以将一部分操作改为“操作 2”，从而节约操作次数。

实现时，可以先一次遍历，更新 arr[i] -= arr[j]，再次遍历时仅比较 arr[i] 和 arr[i+1] 是否同号即可。

答案

import java.util.*;
import java.io.*;

public class Main {
    public static void main(String[] args) throws IOException {
        BufferedReader in = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
        PrintWriter out = new PrintWriter(System.out);
        
        int n = Integer.parseInt(in.readLine());
        int[] arr = new int[n];
        StringTokenizer st = new StringTokenizer(in.readLine());
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            arr[i] = Integer.parseInt(st.nextToken());
        }
        
        // 预处理
        for (int i = 0, j = n - 1; i < j; i++, j--) {
            arr[i] -= arr[j];
        }
        
        // 遍历前一半
        long ans = 0;
        for (int i = 0; i < n / 2; i++) {
            if (arr[i] == 0) continue;
            // 先用 "操作 1" 变 arr[i]
            ans += Math.abs(arr[i]);
            // 再看能否顺便变一下 arr[i+1]
            if (i + 1 < n / 2 && arr[i] > 0 == arr[i + 1] > 0) {
                arr[i + 1] = Math.abs(arr[i]) > Math.abs(arr[i + 1]) ? 0 : arr[i + 1] - arr[i];
            }
        }
        out.println(ans);
        
        out.flush();
        out.close();
    }
}

E. 吊坠

题目描述

输入 n 个长为 m 的字符串，作为图的结点，每两个结点间都有一条带权边，权值为两字符串的最长公共 子串 的长度。

注意，本题中的字符串都可以旋转，如 "abba" 可以旋转变换为 "aabb"，从而 "abba" 和 "acca" 之间的边权值为 2。

选出 最少 的边让所有结点连通，且成本 最大，输出这个成本。

输入输出示例

输入共 n + 1 行，第 1 行含两个正整数 n、m，随后 n 行各含一个长为 m 的字符串：

4 4
aabb
abba
acca
abcd

范围：

• $1⩽$ n $⩽200$
• $1⩽$ x $⩽50$

输出一个整数表示答案：

8

解释：连接 <1, 2>，<2, 3>，<2, 4>，边权和为 $4+2+2=8$。

解题思路

分 2 大步：

1. 求出所有边的边权，如：

[0, 4, 2, 2]
[0, 0, 2, 2]
[0, 0, 0, 1]
[0, 0, 0, 0]

本题中的字符串可旋转，考虑在每个字符串后重复一次自身，如 "abcd" 变为 "abcdabcd"，这样遍历每个长为 m 的窗口就得到了自身的全部旋转结果。

用动态规划，对两个字符串滑一次，求得它们的最长公共子串长度，即边权。

2. 用 kruskal 算法——原本求最小生成树的算法——求 最大生成树。

所有边入堆，并查集判环，无环时加入边并 union()。

答案

import java.util.*;
import java.io.*;

public class Main {
    private static char[][] arr;
    
    public static void main(String[] args) throws IOException {
        BufferedReader in = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
        PrintWriter out = new PrintWriter(System.out);
        
        StringTokenizer st = new StringTokenizer(in.readLine());
        int n = Integer.parseInt(st.nextToken());
        int m = Integer.parseInt(st.nextToken());
        
        // 每个字符串重复自己
        arr = new char[n][m * 2];
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            char[] s = in.readLine().toCharArray();
            for (int j = 0; j < m; j++) {
                arr[i][j] = arr[i][j + m] = s[j];
            }
        }
        
        // 求所有边权
        int[][] dist = new int[n][n];
        for (int i = 0; i < n - 1; i++) {
            for (int j = i + 1; j < n; j++) {
                dist[i][j] = lcs(i, j);
            }
        }
        
        // 所有边入堆
        Queue<int[]> pq = new PriorityQueue<>(Comparator.comparingInt((int[] a) -> -a[2]));
        for (int i = 0; i < n - 1; i++) {
            for (int j = i + 1; j < n; j++) {
                pq.offer(new int[]{i, j, dist[i][j]});
            }
        }
        
        // Kruskal 算法
        int[] root = new int[n];
        Arrays.setAll(root, a -> a);
        int take = 0;
        int ans = 0;
        while (take < n - 1) {
            int[] p = pq.poll();
            if (find(root, p[0]) != find(root, p[1])) {
                union(root, p[0], p[1]);
                take++;
                ans += p[2];
            }
        }
        out.println(ans);
        
        out.flush();
        out.close();
    }
    
    // 求两旋转字符串的最长公共子串长度
    private static int lcs(int x, int y) {
        int m = arr[0].length;
        int max = 0;
        int[][] dp = new int[m + 1][m + 1];
        for (int i = 1; i <= m; i++) {
            for (int j = 1; j <= m; j++) {
                if (arr[x][i - 1] == arr[y][j - 1]) {
                    dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j - 1] + 1, dp[i][j]);
                    max = Math.max(dp[i][j], max);
                }
            }
        }
        return Math.min(max, m / 2);
    }
    
    // 并查集
    private static int find(int[] root, int i) {
        return root[i] == i ? i : (root[i] = find(root, root[i]));
    }
    
    // 并查集
    private static void union(int[] root, int x, int y) {
        root[find(root, x)] = find(root, y);
    }
}

F. 砍柴

题目描述

A、B 两人轮流砍柴，轮到某一方砍柴时，设原木剩余长度为 x：

• 如果 x 为 $0$ 或 $1$，本方无法继续砍柴，从而输掉比赛。
• 如果 x $⩾2$，本方可选择一个长度 $2⩽$ p $⩽$ x，砍掉长为 p 的一段。

共 n 段原木（n 局游戏），每局 A 先手，双方都采用最佳策略。

对每局游戏，如果 A 能够取胜，输出 1，否则输出 0。

输入输出示例

输入共 n + 1 行，第 1 行含一个正整数 n，随后 n 行各含一个正整数 x：

3
1
2
6

范围：

• $1⩽$ n $⩽10^4$
• $1⩽$ x $⩽10^5$

输出 n 行，每行含一个整数 0 或 1：

0
1
1

解释：

• 对 x $=1$，A 已无法砍柴，A 失败。
• 对 x $=2$，A 砍掉 p $=2$，轮到 B 时 x $=0$，已无法砍柴，A 获胜。
• 对 x $=6$，A 砍掉 p $=5$，轮到 B 时 x $=1$，已无法砍柴，A 获胜。

解题思路

典型的博弈问题，预处理范围内的质数集，boolean win(int x) 用 DFS 判断当前剩余长度能否获胜，递归交换对手。

剪枝：对 win(x)，二分质数集查询 $⩽$ x 的最大位置，倒序遍历，更快接近 DFS 基态，否则 $10^5$ 容易栈溢出。

答案

import java.util.*;
import java.io.*;

public class Main {
    private static int[] primes;
    private static int[] memo;
    
    public static void main(String[] args) throws IOException {
        BufferedReader in = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
        PrintWriter out = new PrintWriter(System.out);
        
        int n = Integer.parseInt(in.readLine());
        int[] arr = new int[n];
        
        // 取输入的最大值
        int max = 0;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            arr[i] = Integer.parseInt(in.readLine());
            max = Math.max(arr[i], max);
        }
        
        // 预处理质数
        getPrimes(max);
        memo = new int[max + 1];
        for (int x : arr) {
            out.println(win(x) ? 1 : 0);
        }
        
        out.flush();
        out.close();
    }
    
    // 筛法预处理得到范围内所有质数
    private static void getPrimes(int max) {
        boolean[] v = new boolean[max + 1];
        Arrays.fill(v, true);
        for (int x = 2; x <= max; x++) {
            if (!v[x]) continue;
            for (int y = x * 2; y <= max; y += x) {
                v[y] = false;
            }
        }
        int n = 0;
        for (int x = 2; x <= max; x++) {
            if (v[x]) n++;
        }
        primes = new int[n];
        int i = 0;
        for (int x = 2; x <= max; x++) {
            if (v[x]) primes[i++] = x;
        }
    }
    
    // DFS 博弈
    private static boolean win(int x) {
        if (memo[x] != 0) return memo[x] == 1;
        if (x <= 1) return false;
        // 剪枝: 倒序遍历质数集, 更快接近 DFS 基态
        for (int i = bis(x); i >= 0; i--) {
            if (!win(x - primes[i])) {
                memo[x] = 1;
                return true;
            }
        }
        memo[x] = -1;
        return false;
    }
    
    // 二分, 从质数集中查找 <= x 的最大位置
    private static int bis(int x) {
        int l = 0;
        int r = primes.length - 1;
        while (l <= r) {
            int m = l + r >> 1;
            if (primes[m] <= x) l++;
            else r--;
        }
        return r;
    }
}