激活函数

  转载一篇总结激活函数的博客。

神经网络为什么需要激活函数：首先数据的分布绝大多数是非线性的，而一般神经网络的计算是线性的，引入激活函数，是在神经网络中引入非线性，强化网络的学习能力。所以激活函数的最大特点就是非线性。

不同的激活函数，根据其特点，应用也不同。Sigmoid和tanh的特点是将输出限制在(0,1)和(-1,1)之间，说明Sigmoid和tanh适合做概率值的处理，例如LSTM中的各种门；而ReLU就不行，因为ReLU无最大值限制，可能会出现很大值。同样，根据ReLU的特征，Relu适合用于深层网络的训练，而Sigmoid和tanh则不行，因为它们会出现梯度消失。

在使用relu的网络中，是否还存在梯度消失的问题？ 梯度衰减因子包括激活函数导数，此外，还有多个权重连乘也会影响。。。梯度消失只是表面说法，按照这样理解，底层使用非常大的学习率，或者人工添加梯度噪音，原则上也能回避，有不少论文这样试了，然而目前来看，有用，但没太大的用处。深层网络训练不好的本质难题可能不是衰减或者消失（残差网络论文也提到这一点），是啥目前数理派也搞不清楚，所以写了论文也顺势这样说开了。不然，贸贸然将开山鼻祖的观点否定了，是需要极大勇气和大量的实验，以及中二精神的

1. Sigmoid

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将正负无穷数据映射到（0，1）之间。

$$\mathbf{g}(\mathbf{z})=\frac{1}{1+{\mathbf{e}}^{-\mathbf{z}}}$$

${\mathbf{g}}^{{}^{\prime }}(\mathbf{z})=\frac{{\mathbf{e}}^{-\mathbf{z}}}{(1+{\mathbf{e}}^{-\mathbf{z}}{)}^2}=\mathbf{g}(\mathbf{z})\ast (1-\mathbf{g}(\mathbf{z}))$

又有：

$\mathbf{g}(-\mathbf{z})=1-\mathbf{g}(\mathbf{z})$

其中，z是经过$(wx+b)$线性变换的到的.

函数曲线如下：

Sigmoid作为激活函数的特点：

优点：

• 平滑、易于求导。

缺点：

• 激活函数计算量大（在正向传播和反向传播中都包含幂运算和除法）；
  反向传播求误差梯度时，求导涉及除法；

• Sigmoid导数取值范围是[0, 0.25]，由于神经网络反向传播时的“链式反应”，很容易就会出现梯度消失的情况。例如对于一个10层的网络， 根据，第10层的误差相对第一层卷积的参数的梯度将是一个非常小的值，这就是所谓的“梯度消失”。

• Sigmoid的输出不是0均值（即zero-centered）；这会导致后一层的神经元将得到上一层输出的非0均值的信号作为输入，随着网络的加深，会改变数据的原始分布。

2. tanh

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tanh为双曲正切函数，其英文读作Hyperbolic Tangent。tanh和 sigmoid 相似，都属于饱和激活函数，区别在于输出值范围由 (0,1) 变为了 (-1,1)，可以把 tanh 函数看做是 sigmoid 向下平移和拉伸后的结果。

tanh公式：

$$\mathbf{g}(\mathbf{z})=\frac{{\mathbf{e}}^{\mathbf{z}}-{\mathbf{e}}^{-\mathbf{z}}}{{\mathbf{e}}^{\mathbf{z}}+{\mathbf{e}}^{-\mathbf{z}}}$$
${\mathbf{g}}^{{}^{\prime }}(\mathbf{z})=\frac{4}{({\mathbf{e}}^{\mathbf{z}}+{\mathbf{e}}^{-\mathbf{z}}{)}^2}=1-\mathbf{g}(\mathbf{z}{)}^2$

函数曲线：

tanh作为激活函数的特点：

• 相比Sigmoid函数，tanh的输出范围是(-1, 1)，解决了Sigmoid函数的不是zero-centered输出问题；
• 幂运算的问题仍然存在；
• tanh导数范围在(0, 1)之间，相比sigmoid的(0, 0.25)，梯度消失（gradient vanishing）问题会得到缓解，但仍然还会存在。

3. ReLU

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Relu(Rectified Linear Unit)——修正线性单元函数：该函数形式比较简单，

公式：$\mathbf{g}(\mathbf{z})=\mathbf{m}\mathbf{a}\mathbf{x}(0,\mathbf{z})$

ReLU及其导数曲线：

从上图可知，ReLU的有效导数是常数1，

• 解决了深层网络中出现的梯度消失问题，也就使得深层网络可训练。
• 同时ReLU又是非线性函数，所谓非线性，就是一阶导数不为常数；
• 对ReLU求导，在输入值分别为正和为负的情况下，导数是不同的，即ReLU的导数不是常数，
• 所以ReLU是非线性的（只是不同于Sigmoid和tanh，relu的非线性不是光滑的）。

ReLU在x>0下，导数为常数1的特点：

导数为常数1的好处就是在“链式反应”中不会出现梯度消失，但梯度下降的强度就完全取决于权值的乘积，这样就可能会出现梯度爆炸问题。解决这类问题：一是控制权值，让它们在（0，1）范围内；二是做梯度裁剪，控制梯度下降强度，如ReLU(x)=min(6, max(0,x))

ReLU在x<0下，输出置为0的特点：

描述该特征前，需要明确深度学习的目标：深度学习是根据大批量样本数据，从错综复杂的数据关系中，找到关键信息（关键特征）。换句话说，就是把密集矩阵转化为稀疏矩阵，保留数据的关键信息，去除噪音，这样的模型就有了鲁棒性。ReLU将x<0的输出置为0，就是一个去噪音，稀疏矩阵的过程。而且在训练过程中，这种稀疏性是动态调节的，网络会自动调整稀疏比例，保证矩阵有最优的有效特征。

但是ReLU 强制将x<0部分的输出置为0（置为0就是屏蔽该特征），可能会导致模型无法学习到有效特征，所以如果学习率设置的太大，就可能会导致网络的大部分神经元处于‘dead’状态，所以使用ReLU的网络，学习率不能设置太大。

ReLU作为激活函数的特点：

• 相比Sigmoid和tanh，ReLU摒弃了复杂的计算，提高了运算速度。
• 解决了梯度消失问题，收敛速度快于Sigmoid和tanh函数，但要防范ReLU的梯度爆炸
• 容易得到更好的模型，但也要防止训练中出现模型‘Dead’情况。

4. Leaky ReLU, PReLU（Parametric Relu）, RReLU（Random ReLU）

为了防止模型的‘Dead’情况，后人将x<0部分并没有直接置为0，而是给了一个很小的负数梯度值。

Leaky ReLU公式：$\mathbf{g}(\mathbf{z})=\mathbf{m}\mathbf{a}\mathbf{x}(0.01\mathbf{z},\mathbf{z})$

• Leaky ReLu是Relu的改装版，当z是负值时，这个函数的值不是等于 0，而是轻微的倾斜, Leaky ReLU中的为常数，一般设置 0.01。为什么常数是 0.01？其实是个经验值，当然，也可以选择不同的参数。 这个函数通常比 Relu 激活函数效果要好，但是效果不是很稳定，所以在实际中 Leaky ReLu 使用的并不多。
• PRelu（参数化修正线性单元） 中的作为一个可学习的参数，会在训练的过程中进行更新。
• RReLU（随机纠正线性单元）也是Leaky ReLU的一个变体。在RReLU中，负值的斜率在训练中是随机的，在之后的测试中就变成了固定的了。RReLU的亮点在于，在训练环节中，aji是从一个均匀的分布U(I,u)中随机抽取的数值。