Count number of binary strings without consecutive 1’s

最新推荐文章于 2025-01-13 15:16:10 发布

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本文探讨了如何计算长度为n且不含连续1的二进制串的数量，提供了两种算法解决方案：一是使用回溯法结合深度优先搜索实现，二是采用更高效的动态规划方法。

一、题目

1. Count number of binary strings without consecutive 1’s

Given a positive integer n(3≤n≤90), count all possible distinct binary strings of length n such that there are no consecutive 1's .
Examples:

  Input:  2 
  Output: 3 // The 3 strings are 00, 01, 10 
  
  Input: 3 
  Output: 5 // The 5 strings are 000, 001, 010, 100, 101

二、题意

给定一个正整数n(3≤n≤90)，数出长度为n的所有可能的不同二进制串的个数，使得串中没有连续的1出现。

三、解题思路及算法

1、回溯+深搜

长度为n的所有二进制串形成一棵子集树，所以可以用DFS遍历子集树，遍历过程中检查是否有连续的1出现，时间复杂度为O(2^n)。

// 深搜回溯法 
#include <iostream>
using namespace std;
long long total = 0;
bool judge(string s){
	int length = s.length();
	int num = 0;
	for(int i=0; i<length-1; i++){
		if(s[i] == '1' && s[i+1] == '1')
			return false;
	}
	return true;
}
void calculate(string s, int index, int n){
	if(index == n) {
		if(judge(s)){total++;} 
		return;
	}
	else{
		calculate(s, index+1, n);
		s[index] = '1';
		calculate(s, index+1, n);
	}
}
int main (){
	int n;
	cin>>n;
	string s="";
	for(int i=0; i<n; i++){
		s+='0';
	}
	calculate(s, 0, n);
	cout<<total<<endl;
	
	return 0;
}

2、动态规划（DP）
思路：设a[i-2]，a[i-1], a[i]分别为长度为i-2，i-1，i的不含连续1的二进制字符串的个数
那么从长度为i的来考虑：
1、若最后一个值为0，则这种情况下不含连续1的二进制字符串个数为a[i-1]
2、若最后一个值为1，则这种情况下要符合条件那么倒数第二个的值只能为0
此时符合条件的个数为a[i-2]（理由和1相同）

时间复杂度：O(n)。

#include <iostream>
using namespace std;
int main (){
	int n;
	cin>>n;
	long long a[n+1];   // n最大为90，那么总数的量级是2^90数量级，因此需要大数 
	a[1] = 2; a[2] = 3;
	for(int i=3; i<=n; i++){
		a[i] = a[i-1] + a[i-2];
	}
	cout<<a[n]<<endl;
	
	return 0;
}

参考博文：https://blog.youkuaiyun.com/climber16/article/details/81604342