线段树入门、总结 Interval Tree

线段树入门级总结
By Jsn1993
最近学习了线段树这一种数据结构，也做了不少关于线段树的入门级题目，大致对线段树有
了一个了解。稍稍总结一下（文字没有参考别人的成分）。
一、 初识线段树
1、 称谓及意义
线段树我习惯用英文称呼它（Interval Tree）。Interval 代表区间，恰恰说明了线段树是一种基
于区间的数据结构。
2、 线段树的表示
线段树是一棵二叉树，它的左右儿子也都是一棵线段树。
在最坏情况下节点的标号最大为N shl 2（图1）。
线段树的每个节点代表一个区间[L,R]，其中，假设根代表一个区间[L0,R0]。
取 Mid=(L0+R0) shr 1，则根的左儿子代表的区间为[L0,mid]，右儿子为[Mid+1,R0]。
线段树的每个叶子节点代表的区间[L,R]，其中L=R。
具体可参考图1（Quote From Rujia Liu’s ppt）：
3、 线段树区间的意义
在实际应用中，[L,R]往往只代表这个区间的左右界，并不是代表具体的值。
往往在需要对某个区间进行操作并且进行了操作后，由于区间的包含性与传递性，需要更新
这个区间的父亲与儿子。
二、线段树的操作
1、 建立一棵线段树
显然，线段树是递归定义的
对于一个线段树中的区间，若L<R，则必能被分作[L,Mid] , [Mid+1,R], Mid=(L+R) shr 1。
若 L=R，则为递归的边界，此时该区间为一个点。
由此思想，建树时需要利用递归（或者模拟堆栈）。
另外，由于这类线段树是二叉树式存储：
节点 T的左儿子节点是T shl 1, 代表[L,Mid]区间。
节点 T的右儿子节点是T shl 1+1，代表[Mid+1,R]区间。
这样便建立完了一棵线段树。
伪代码：
Void Build(int T,L,R)
{
If (L==R)
{
Add values to the leave node;
Return;
}
Int mid=(L+R)>>1;
Build(T<<1,L,Mid);
Build(T<<1+1,Mid+1,R);
Update the current node with his left son and right son;
}
其中 add value 与update root 都需要在具体的情境中采用具体的过程。
简单举例，在维护区间Max值时
当 L=R，因为只有一个数，说明[L,R]的最大值便是序列中的原数。
Tree[T]=List[L](List[R]亦可)
易知，父区间的最大值便为左右儿子区间最大值的最大值（。。。）
Tree[T]=Max(Tree[T<<1],Tree[T<<1+1]);
执行了Build(1,1,Len)之后，
便建立完了一棵以[1,Len]为根区间，节点1 为根节点的线段树。
至此，建立部分完毕。
2、 查询某个区间
线段树最基本的用途便是保存各个区间内的特定值，
但只有保存，并不够，正如程序只有Input 而没有Output。
所以线段树是被用来处理某些RMQ 问题的常用数据结构。
显然，在[L,R]中查询[LL,RR]的时候有三种情况。
第一种，[LL,RR]被[L,Mid]包含，此时直接在[L,Mid]中查询[LL,RR]
第二种，[LL,RR]被[Mid+1,R]包含，此时直接在[Mid+1,R]中查询[LL,RR]（同理）
第三种，较复杂的一种，[LL,RR]被Mid 从中间截断，此时在[L,Mid]中查询[LL,Mid]，在
[Mid+1,R]中查询[Mid+1,RR]，然后将两个查询得到的结果进行Update，返回Update的结果。
这样便处理完了查询。
伪代码：
Int Query(int T,L,R,LL,RR) //如果需要返回多个结果，可以考虑用Struct存储并返回Struct
{
If (LL=L&&RR=R)
Return Tree[t];
Int Mid=(L+R)>>1
If (RR<=Mid)
Return Query(T<<1,L,Mid,LL,RR);
If (LL>Mid)
Return Query(T<<1+1,Mid+1,R,LL,RR);
Int Left=Query(T<<1,L,Mid,LL,Mid);
Int Right=Query(T<<1+1,Mid+1,R,Mid+1,RR);
Int Temp;
Update(Temp,Left,right);
Return Temp;
}
再以查询区间最大值为例
当 LL=L且RR=R
返回的即为区间[L,R]的最大值，
当全部落在[L,Mid]，便在区间[L,Mid]内查询[LL,RR]，
当全部落在[Mid+1,R]，便在区间[Mid+1,R]查询[LL,RR]。
当被 Mid截断，便查询[L,Mid],[Mid+1,R]，并返回这两个区间查询结果Update后的结果。
执行完 Ans=Query(1,1,N,LL,RR)，
便得到了在[1,N]查询[LL,RR]的结果
至此，查询部分完毕。
3、 修改某个区间或点
当某个问题需要查询并修改一个区间或者点的值的时候，线段树也能支持这一操作。
本质上，建立一棵线段树相当于向一棵线段树加入许多点，或者说将原来空的点修改为值。
线段树支持修改，第一种是将某个点的值改变，并递归更新他的父亲，
第二种是将某个区间加上一个delta 值，或者改变为一个cover 值。
修改点：
显然，在[L,R]中修改[LL,RR]（LL=RR）的时候有三种情况。
第一种，[LL,RR]被[L,Mid]包含，此时直接在[L,Mid]中修改[LL,RR]
第二种，[LL,RR]被[Mid+1,R]包含，此时直接在[Mid+1,R]中修改[LL,RR]（同理）
然后递归更新父亲。
不用考虑被截断（因为只是一个点）。
修改区间
显然，在[L,R]中修改[LL,RR]（LL<RR）的时候有三种情况。
第一种，[LL,RR]被[L,Mid]包含，此时直接在[L,Mid]中修改[LL,RR]
第二种，[LL,RR]被[Mid+1,R]包含，此时直接在[Mid+1,R]中修改[LL,RR]（同理）
第三种，较复杂的一种，[LL,RR]被Mid 从中间截断，此时在[L,Mid]中修改[LL,Mid]，在
[Mid+1,R]中修改[Mid+1,RR]，然后将两个查询得到的结果进行Update，递归更新父亲。
这样便处理完了修改。
伪代码（修改区间的，修改点的只需要简单调整）：
VoidModify(int T,L,R,LL,RR,Value)
{
If (LL=L&&RR=R)
Modify the node with Value
Int Mid=(L+R)>>1
If (RR<=Mid)
Modify(T<<1,L,Mid,LL,RR,Value);
else
If (LL>Mid)
Modify(T<<1+1,Mid+1,R,LL,RR,Value);
Else
{
Modify(T<<1,L,Mid,LL,Mid);
Modify(T<<1+1,Mid+1,R,Mid+1,RR);
}
Update the current node with his left son and right son;
}
三、线段树的应用
解决一些区间RMQ 问题，存储值，优化DP等
习题：
Pku (Acm.pku.edu.cn/JudgeOnline)
2104 （较难，树套表，二分答案）
2299（逆序对）
2777（区间Cover）
2823（最大最小）
3264（最大最小）
3368（左右两边连续的长度）
3468（区间和，支持delta）
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