面试题9：斐波那契数列

题目一：写一个函数，输入n，求斐波那契数列的第n项。斐波那契数列的定义如下：

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分析

根据上述公式，我们可以很容易地写出如下递归代码：

long long Fib(int x)
{
    if(x==0 || x==1)
        return x;
    return Fib(x-1,count)+Fib(x-2,count);
}

不过递归方式的时间复杂度是O(2^n)，空间复杂度都是是O(n)，增长的很厉害，用来解释递归原理还可以，是无法应用的实际中去的。

那我们就可以把递归该成循环，使时间复杂度降到O(n)。

代码如下

long long Fib(int x)
{
    if(x<=1)
        return x;
    int a=0,b=1,res;
    int i;
    for(i=0;i<x-1;++i)
    {
        res=a+b;
        a=b;
        b=res;
    }
    return res;
}

一般到这里就可以了，但我们现在有一个时间复杂度为O(logN)的方法，讲解如下：

有一个数学公式：
这个公式在此不做证明，有兴趣的读者可以自己用数学归纳法试着证明一下。

现在我们就将斐波那契问题转化矩阵乘法的问题了。但如果还是以普通乘法来计算的话，时间复杂度跟循环无异。所以需要对其优化。

1. 1. 对于矩阵乘方，常规算法需要O(n³)时间，《算法导论》上介绍了一种Strassen算法，可以将计算的时间复杂度压缩到O(n^lg7)。(lg7的值在2.80到2.81之间)在此不做验证。
2. 2. 假设n为偶数，aⁿ=a^n/2*a^n/2，所以我们可以利用乘方的这种性质来计算，时间复杂度缩减到O(lonN)。

   代码如下:

   vector<vector<unsigned long long int> > MultiMatrix(vector<vector<unsigned long long int> > matrix1,vector<vector<unsigned long long int> > matrix2)
   {
       if(matrix1.size()<=0 || matrix2.size()<=0)
           return vector<vector<unsigned long long int> >();
       vector<vector<unsigned long long int> > res;
       int i,j,k;
       res.resize(matrix1.size());
       for(i=0;i<matrix1.size();++i)
       {
           res[i].resize(matrix2[0].size());
           for(j=0;j<matrix2[0].size();++j)
           {
   
               res[i][j]=0;
               for(k=0;k<matrix2.size();++k)
               {
                   res[i][j]+=matrix1[i][k]*matrix2[k][j];
               }
           }
       }
       return res;
   }
   
   vector<vector<unsigned long long int> > calc(vector<vector<unsigned long long int> > matrix,int x)
   {
       int i;
       vector<vector<unsigned long long int> > res=matrix;
       for(i=0;i<x-1;++i)
       {
           res=MultiMatrix(matrix,res);
       }
       return res;
   }
   
   unsigned long long int Fib(int x)
   {
       if(x==0 || x==1)
           return x;
       vector<vector<unsigned long long int> >matrix;
       matrix.resize(2);
       matrix[0].resize(2);
       matrix[1].resize(2);
       matrix[0][0]=matrix[0][1]=matrix[1][0]=1;
       matrix[1][1]=0;
       return calc(matrix,x-1)[0][0];
   }
   

以上

如果你有任何想法或是可以改进的地方，欢迎和我交流！

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