[BZOJ 4584][Apio2016]赛艇：DP+组合数

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本文介绍了一种区间DP问题的优化方法，通过将左闭右闭区间转换为左闭右开区间，并采用滚动数组与前缀和技巧来减少时间和空间复杂度。文章详细解释了状态转移方程，并给出了一段C++代码实现。

点击这里查看原题

f[i][j]表示前i个学校中，第i个学校出j个船的方案数，于是f[i][j]=sigma{f[i’][j’]}(i’ < i , j’ < j )
但是这样会时间空间双LE，因此需要优化。
考虑到n只有500，因此可以对区间进行离散化，把左闭右闭区间换成左闭右开区间，然后f[i][j]表示第i个学校出的船的数量在区间j的方案数。
此时，状态转移分为两个部分：
小于区间j的，直接加法原理即可

等于区间j的：
设区间j的区间长度为L，一共有m个满足区间j的学校，方案数f=
C(m,0) * C(L,0)+C(m,1) * C(L,1) +…+C(m,m) * C(L,m)
因为C(n,m)=C(n,n-m)，所以
f=C(m,m) * C(L,0)+C(m,m-1) * C(L,1)+ …+C(m,0) * C(L,m)=C(L+m,m)
但这个包含了所有学校都不出船的情况，所以需要减去C(L+m-1,m-1)，即f=C(L+m,m)-C(L+m-1,m-1)=C(L+m-1,m)（杨辉三角）

此外，使用滚动数组+前缀和可以优化一维

/*
User:Small
Language:C++
Problem No.:4584
*/
#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define inf 999999999
using namespace std;
const ll mod=1e9+7;
int f[505],a[505],b[505],n,inv[505],c[505],h[1005],ans,cnt,g[505];
int main(){
    freopen("data.in","r",stdin);//
    scanf("%d",&n);
    inv[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++)
        inv[i]=(ll)(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%d%d",&a[i],&b[i]);
        h[++cnt]=a[i];
        h[++cnt]=++b[i];
    }
    sort(h+1,h+cnt+1);
    cnt=unique(h+1,h+cnt+1)-h-1;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        a[i]=lower_bound(h+1,h+cnt+1,a[i])-h;
        b[i]=lower_bound(h+1,h+cnt+1,b[i])-h;
    }
    c[0]=g[0]=1;
    for(int j=1;j<cnt;j++){
        int l=h[j+1]-h[j];
        for(int i=1;i<=n;i++)
            c[i]=(ll)c[i-1]*(l+i-1)%mod*inv[i]%mod;
        for(int i=n;i;i--){
            if(a[i]<=j&&j+1<=b[i]){
                int f=0,m=1,C=l;
                for(int p=i-1;p>=0;p--){
                    f=(f+(ll)C*g[p]%mod)%mod;
                    if(a[p]<=j&&j+1<=b[p])
                        C=c[++m];
                }
                g[i]=(g[i]+f)%mod;
            }
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
        ans=(ans+g[i])%mod;
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}