代码之谜（四）- 浮点数（从惊讶到思考）

在『代码之谜』系列的前几篇文章中，很多次出现了浮点数。 浮点数在很多编程语言中被称为简单数据类型，其实，浮点数比起那些复杂数据类型（比如字符串）来说， 一点都不简单。

单单是说明 IEEE浮点数 就可以写一本书了，我将用几篇博文来简单的说说我所理解的浮点数，算是抛砖引玉吧。

一次面试

记得多年前我招聘 Java 程序员时的一次关于浮点数、二分法、编码的面试， 多年以后，他已经称为了一名很出色的程序员。 每次聚会他都会告诉我，“那次面试彻底改变了我的过去的学习方式， 我以前 只是盲目接受知识，根本就没有自己思考过， 那次对话，比我大学四年学到的知识都多”。

我看他简历上写到读过《信息论》才谈了很多关于二分法以及编码的话题， 整个过程大概3个小时——这是我面试时间最长的一次。

因为时间久远，我把一些我能回忆起来的关于浮点数的内容整理在这篇博客中。

格式说明：

所有我说的话，都放在引用里面。他的话放在了引号（“”）里面。没有加引号的是我的心理活动或者说明。

浮点数个数

在 8 位计算机上，浮点数一共有多少个呢？

“8 位的好像太过时了，现在主流的是 32 位的，好像可以表示3 x 10^38。”

果然不出我所料， 很多毕业生都把计算机学成了文科，他们不是在学习理论知识，而是接受/背诵这些知识。

8 位计算机可以表示的整数是多少个呢？

“这个简单，2的8次方，应该是 256 个。N 位计算机表示的整数就是 2 的 N 次方。”

他回答时显得很兴奋，因为他终于可以反驳我的观点了，他没有把计算机当作死记硬背的学科。

8 位计算机，或者说  8bit 可以表示 2^8 个整数。 如果用这 8bit 来表示字符，可以表示多少个呢？

“呵呵，当然也是 2 的 8 次方了，否则就没有必要再发明16位或者32位的 unicode 去表示汉字了。”

如你刚才所说，8bit 可以表示 3^38 个浮点数。那么你估算一下，2bit 可以表示多少个浮点数呢？

“既然 2bit 可以表示 4 个整数，浮点数嘛肯定比这个多，最少也得能表示 10 几个浮点数吧。”

好吧，按照你的思路，我说几个数。

• 0总该有吧，用 00 表示。
• 1 用 01 表示
• 2 用 10 表示
• 3 用 11 表示

现在你把 0.4 给我表示出来？

『他思索了片刻』“哦。我明白了， 2bit 可以表示 4 个数，不管是整数、小数或者字符，就算是用 2bit 表示苹果，我们也只能表示 4 个，如果想要表示更多，就得用更多的 bit 位。”

虽然他在简历中写到读过《信息论》，他对 N bit可以表示的信息量是 2^N 肯定没有完全理解，或者只是被动接受了这个定理。

过了一会儿他又继续说：“按照这个逻辑，8bit 只能表示 256 个浮点数了，这也太少了。 我有点糊涂了，浮点数的表示范围一般都得几万甚至几亿啊。”

浮点数精度

于是我在 firebug 里面写了几行代码（可以在本系列第一篇的 序言 部分找到这些代码）。

0.2 + 0.4

0.1 + 0.1 + 0.1 + 0.1 + 0.1 + 0.1 + 0.1 + 0.1 + 0.1

“这怎么可能呢？JS 居然这么不严格？”

显然他把这种现象归结于 js（谢天谢地，他没有把罪过加在 firebug 身上）。 于是我用 Java 重写了上面的代码，这回他只剩目瞪口呆了。

既然他已经开始 惊讶，那么下一步就是 思考。我又稍作了解释：

任何语言都宣称他们的浮点数的表示范围是 3 x 10^38，这个数到底多大呢？目前所知宇宙的年龄是 1.373 x 10^10 年。

但是 32bit 最多只能表示 2^32 个数，大约是 4 x 10^9。

对比一下你就会发现令人震惊的结果。 如果把浮点数的范围比做地球，那么可以精确表示的浮点数还不到一粒芝麻大。

“这么说，0.2+0.4 是因为他不能够精确表示，所以出现了计算错误的现象。那在编程中如何避免这种问题呢？”

用  定点数表示小数。

浮点数等价于小数吗

“定点数不是整数吗？定点数怎么表示小数啊？”

很显然，有一个理论性概念错误。他没有真正理解什么是定点，什么是浮点。

浮点数可以表示整数吗？比如，float a = 2 可以吗？

“可以是可以，这个 2 在计算机里面应该存储的是 2.0 吧？”

计算机肯定没有存储 2.0。百分之一万的肯定。计算机存储的是0、1串。呵呵。

“我觉得浮点数应该不会存储整数的2，他存储的应该是小数的2.0，然后转换成0、1串，是这样吗？”

他一连问了我几个问题，使我感觉到，我不是在面试，而是在上课。

整数和小数是数学里面的概念，在计算机中，只有定点数和浮点数，没有整数和小数。

定点数在课本里如何定义的？

“忘了，只知道定点数就是整数，浮点数就是小数。好像老师也是这么讲的。”

那是因为你们老师不是我，如果我当老师，肯定不会这么教学生。『笑』

定点、浮点，“点”是什么意思？“点”就是小数点。 把小数点固定，通常固定在最右面，就是定点数。 把小数点浮动，就是浮点数。浮点在哪儿？这个在 IEEE 浮点数标准里面定义的。

回到前面话题，如何精确的表示小数呢？其中一种方案就是定点数。

拿 8bit 举例吧。我们可以把小数点定在中间，用 4bit 表示整数部分，4bit 表示小数部分。 这样构造方式（专业点我们称他为数据结构，一般语言把整数和小数称为简单数据类型，其实他们一点都不简单，而且比那些成了复合数据类型的字符串都要复杂的多），我们可以精确的表示64个小数，我们可以精确的表示 2^8 = 256 个小数（谢谢 mfkvfn 在 iteye 上的指正）。

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在下一章，我们将构造一个 8bit 的浮点数表示形式，来深入探索浮点数不为人知的秘密。 我称它为 JJFN-134(JustJavac Float Notation，justjavac浮点数表示法)，1bit符号，3bit指数，4bit尾数。