【PTA】7-7 六度空间 (30 分)

该博客探讨了六度空间理论,指出随着现代通信工具的发展,验证这一理论成为可能。博客提供了输入和输出格式示例,并指出解决这个问题实际上是多源无权图最短路问题,可以通过BFS算法实现。

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7-7 六度空间 (30 分)
“六度空间”理论又称作“六度分隔(Six Degrees of Separation)”理论。这个理论可以通俗地阐述为:“你和任何一个陌生人之间所间隔的人不会超过六个,也就是说,最多通过五个人你就能够认识任何一个陌生人。”

“六度空间”理论虽然得到广泛的认同,并且正在得到越来越多的应用。但是数十年来,试图验证这个理论始终是许多社会学家努力追求的目标。然而由于历史的原因,这样的研究具有太大的局限性和困难。随着当代人的联络主要依赖于电话、短信、微信以及因特网上即时通信等工具,能够体现社交网络关系的一手数据已经逐渐使得“六度空间”理论的验证成为可能。

假如给你一个社交网络图,请你对每个节点计算符合“六度空间”理论的结点占结点总数的百分比。

输入格式:
输入第1行给出两个正整数,分别表示社交网络图的结点数N(1<N≤104,表示人数)、边数M(≤33×N,表示社交关系数)。随后的M行对应M条边,每行给出一对正整数,分别是该条边直接连通的两个结点的编号(节点从1到N编号)。

输出格式:
对每个结点输出与该结点距离不超过6的结点数占结点总数的百分比,精确到小数点后2位。每个结节点输出一行,格式为“结点编号:(空格)百分比%”。

输入样例:
10 9
1 2
2 3
3 4
4 5
5 6
6 7
7 8
8 9
9 10
输出样例:
1: 70.00%
2: 80.00%
3: 90.00%
4: 100.00%
5: 100.00%
6: 100.00%
7: 100.00%
8: 90.00%
9: 80.00%
10: 70.00%

思路分析:

其实就是多源无权图最短路问题,只是多了个判断路径长度的条件,bfs即可。

#include <iostream>
#include <queue>
#include <cstring> 
#define MAX 10010
using namespace std;

int map[MAX][MAX];
int vis[MAX];
int N, M;
dou
### 关于PTA平台上的六度空间问题 #### 题目背景 “六度空间理论描述了一个社会网络中的连接特性,即任意两个人之间的最短路径长度通常不超过6。此问题的核心在于验证在一个给定的社会关系图中,是否存在大部节点可以通过至多6步到达其他节点。 --- #### 解题思路1. **建模** 将题目转化为一个无向图的遍历问题,其中每个人视为一个节点,两人之间的朋友关系表示为一条边。目标是统计每个节点到其余所有节点的距离是否满足条件。 2. **核心算法选择** 可以采用广度优先搜索(BFS)或者深度优先搜索(DFS)来解决这个问题。由于需要精确记录距离层次,推荐使用 BFS 来逐层扩展并计算距离[^4]。 3. **具体实现细节** - 输入处理:读取节点数量 \(N\) 和边的数量 \(E\),构建邻接矩阵或邻接表存储图的关系。 - 距离初始化:对于每一个起点节点,初始化其与其他节点的距离数组 `dist`,并将初始值设为无穷大(如 `-1` 或者较大的数值)。 - 层次遍历:利用队列进行 BFS 扩展,每次访问新节点时更新其距离,并标记已访问状态。 - 统计结果:针对每个起始节点,统计与其距离 ≤ 6 的节点比例,并输出相应百比。 以下是基于 C++ 的代码实现: ```cpp #include <iostream> #include <vector> #include <queue> using namespace std; const int MAX_N = 1002; bool graph[MAX_N][MAX_N]; bool visited[MAX_N]; int dist[MAX_N]; void bfs(int start, int n) { fill(visited, visited + n, false); fill(dist, dist + n, -1); queue<int> q; q.push(start); visited[start] = true; dist[start] = 0; while (!q.empty()) { int u = q.front(); q.pop(); for (int v = 0; v < n; ++v) { if (graph[u][v] && !visited[v]) { visited[v] = true; dist[v] = dist[u] + 1; q.push(v); } } } } int main() { int N, E; cin >> N >> E; // 初始化图 for (int i = 0; i < N; ++i) { for (int j = 0; j < N; ++j) { graph[i][j] = false; } } for (int i = 0; i < E; ++i) { int a, b; cin >> a >> b; --a; --b; // 转换为从0开始编号 graph[a][b] = graph[b][a] = true; } // 对每个节点执行BFS for (int i = 0; i < N; ++i) { bfs(i, N); // 计算符合条件的比例 int count_within_six = 0; for (int j = 0; j < N; ++j) { if (dist[j] >= 0 && dist[j] <= 6) { count_within_six++; } } double ratio = static_cast<double>(count_within_six) / N * 100; cout << i + 1 << ": " << fixed << setprecision(2) << ratio << "%" << endl; } return 0; } ``` --- #### 复杂度- 时间复杂度:假设总共有 \(V\) 个顶点和 \(E\) 条边,在最坏情况下,每调用一次 BFS 函数的时间复杂度为 \(O(V+E)\),而总共需对 \(V\) 个节点别运行 BFS,故整体时间复杂度约为 \(O(V \cdot (V + E))\)- 空间复杂度:主要由邻接矩阵占用的空间决定,大小为 \(O(V^2)\)[^4]。 --- #### 注意事项 - 如果输入规模较大,建议改用邻接表代替邻接矩阵降低内存消耗。 - 输出格式应严格遵循题目要求,尤其是保留两位小数的部---
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