【蓝桥杯】k倍区间 (前缀和+分析+数论)

资源限制
时间限制：2.0s 内存限制：256.0MB
问题描述
　　给定一个长度为N的数列，A1, A2, … AN，如果其中一段连续的子序列Ai, Ai+1, … Aj(i <= j)之和是K的倍数，我们就称这个区间[i, j]是K倍区间。

你能求出数列中总共有多少个K倍区间吗？
输入格式
　　第一行包含两个整数N和K。(1 <= N, K <= 100000)
　　以下N行每行包含一个整数Ai。(1 <= Ai <= 100000)
输出格式
　　输出一个整数，代表K倍区间的数目。
样例输入
5 2
1
2
3
4
5
样例输出
6
数据规模和约定
　　峰值内存消耗（含虚拟机） < 256M
　　CPU消耗 < 2000ms

请严格按要求输出，不要画蛇添足地打印类似：“请您输入…” 的多余内容。

注意：
　　main函数需要返回0;
　　只使用ANSI C/ANSI C++ 标准;
　　不要调用依赖于编译环境或操作系统的特殊函数。
　　所有依赖的函数必须明确地在源文件中 #include
　　不能通过工程设置而省略常用头文件。

提交程序时，注意选择所期望的语言类型和编译器类型。

思路分析

首先时间复杂度要控制在O(nlgn)，枚举区间肯定是不行的了。和区间相关的尺取法和dp其实也不行，因为要满足区间和为k倍这个条件，前因后果关系不存在。
其实前缀和也是只有尝试后才发现可行。因为看到“区间和”3个字眼很容易想到试试前缀和这个方法。将这个数列A通过前缀和得到数组S. 对于A数组中[l,r]区间可以用S[r+1]-S[l]表示。
因此以S数组的角度分析题目条件就是：
寻找任意两个不相同的i, j (i<j) 使得(S[j]-S[i])%k == 0. 通过模运算可以拆成S[j]%k == S[i]%k
也就是对S数组全员%k，找相同数的Cn2组合。

#include <iostream>
#include <map>
using namespace std;

int main()
{
	int n, k;
	int arr[100010];
	scanf("%d%d",&n,&k);
	arr[0] = 0;
	for(int i = 1;i <= n;i++)
	{
		int x;
		scanf("%d",&x);
		arr[i] = ((arr[i-1])%k+x%k)%k; 
	}
	map<int,long long> mp;
	map<int,long long>::iterator it;
	long long ans = 0;
	for(int i = 0;i <= n;i++)
	{
		mp[arr[i]]++;
	}
	for(it = mp.begin();it != mp.end();it++)
	{
		ans += it->second*(it->second-1)/2;	//此处会爆int 
	}
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}