最小生成树Prim算法和Kruskal算法[Java语言实现]

1，普里姆算法（Prim）

• 此算法可以称为“加点法”，每次迭代选择代价最小的边对应的点，加入到最小生成树中。算法从某一个顶点s开始，逐渐长大覆盖整个连通网的所有顶点。
• 具体步骤如下

1. 图的所有顶点集合为V；初始令集合u={s},v=V−u;
2. 在两个集合u,v能够组成的边中，选择一条代价最小的边(u0,v0)，加入到最小生成树中，并把v0并入到集合u中。
3. 重复上述步骤，直到最小生成树有n-1条边或者n个顶点为止。

• 具体操作如图所示
  

Java代码如下所示（仅供参考）：

import java.util.ArrayList;
import java.util.List;

/**
 * @author biHuGang
 * @date 2020/4/28
 */
public class DemoPrim {
    static int[][] graph;
    //存放已经加入到最小生成树的边
    static List<Integer> arr = new ArrayList<>();
    static boolean[] vis;

    public static void main(String[] args) {
        vis = new boolean[6];
        //邻接矩阵
        graph = new int[][]{
                {0, 6, 1, 5, 0, 0},
                {6, 0, 5, 0, 3, 0},
                {1, 5, 0, 5, 6, 4},
                {5, 0, 5, 0, 0, 2},
                {0, 3, 6, 0, 0, 6},
                {0, 0, 4, 2, 6, 0}
        };
        int ans = prim(0);
        System.out.println(ans);
    }

    private static int prim(int start) {
        int ans = 0;
        for (int i = 0; i < 5; i++) {
            //将该节点加入到集合中
            arr.add(start);
            //标记
            vis[start] = true;
            int val = Integer.MAX_VALUE;
            //寻找最小边
            for (int row : arr) {
                for (int j = 0; j < 6; j++) {
                    if (!vis[j]) {
                        if (graph[row][j] < val && graph[row][j] > 0) {
                            start = j;
                            val = graph[row][j];
                        }
                    }
                }
            }
            ans += val;
        }
        return ans;
    }
}

// ans = 15;

2，克鲁斯卡尔算法（Kruskal）

• 此算法可以称为“加边法”，初始最小生成树边数为0，每迭代一次就选择一条满足条件的最小代价边，加入到最小生成树的边集合里。

1. 把图中的所有边按代价从小到大排序；
2. 把图中的n个顶点看成独立的n棵树组成的森林；
3. 按权值从小到大选择边，所选的边连接的两个顶点ui,vi,应属于两颗不同的树，则成为最小生成树的一条边，并将这两颗树合并作为一颗树。
4. 重复(3),直到所有顶点都在一颗树内或者有n-1条边为止。
   

• 该算法可以借助并查集来实现
• 如果对并查集还不了解的，可以看我的另一篇博客—并查集Java实现

Java代码如下所示（仅供参考）

import java.util.ArrayList;
import java.util.Arrays;
import java.util.Collections;
import java.util.List;

/**
 * @author biHuGang
 * @date 2020/4/28
 */
public class DemoKruskal {
    static int[][] graph;
    static List<Node> arr = new ArrayList<>();
    static int[] parent;
    static int[] rank;
    static int ans = 0;

    public static void main(String[] args) {
        parent = new int[6];
        rank = new int[6];
        Arrays.fill(parent, -1);
        Arrays.fill(rank, 0);
        graph = new int[][]{
                {0, 6, 1, 5, 0, 0},
                {0, 0, 5, 0, 3, 0},
                {0, 0, 0, 5, 6, 4},
                {0, 0, 0, 0, 0, 2},
                {0, 0, 0, 0, 0, 6},
                {0, 0, 0, 0, 0, 0}
        };
        for (int i = 0; i < 6; i++) {
            for (int j = 0; j < 6; j++) {
                if (graph[i][j] != 0) {
                    arr.add(new Node(i, j, graph[i][j]));
                }
            }
        }
        Collections.sort(arr);
        for (int i = 0; i < arr.size(); i++) {
            Node node = arr.get(i);
            union_root(node);
        }
        System.out.println(ans);
    }

    //合并根
    private static void union_root(Node node) {
        int x_root = find_root(node.x);
        int y_root = find_root(node.y);
        //如果在同一棵树上,则不做任何操作
        if (x_root == y_root) {
            return;
        } else {
            //rank数组优化
            if (rank[x_root] > rank[y_root]) {
                parent[y_root] = x_root;
            } else if (rank[x_root] < rank[y_root]) {
                parent[x_root] = y_root;
            } else {
                parent[x_root] = y_root;
                rank[y_root]++;
            }
            ans += node.val;
        }
    }

    //寻找根(路径压缩递归版)
    private static int find_root(int x) {
        if (parent[x] == -1) return x;
        return parent[x] = find_root(parent[x]);
    }

    //寻找根(路径压缩非递归版)
    /*private static int find_root(int x) {
        int root = x;
        while (parent[root] != -1){
            root = parent[root];
        }
        while (parent[x] != -1){
            int r = parent[x];
            parent[x] = root;
            x = r;
        }
        return root;
    }*/

}

class Node implements Comparable<Node> {
    int x;
    int y;
    int val;

    public Node(int x, int y, int val) {
        this.x = x;
        this.y = y;
        this.val = val;
    }

    @Override
    public int compareTo(Node o) {
        return this.val - o.val;
    }
}

// ans = 15;

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转载：勿在浮沙筑高台 http://blog.youkuaiyun.com/luoshixian099/article/details/51908175