codeforces 895D

（组合数学）
题意：给定两个由全英文字母构成的字符串$s_1$,$s_2$，保证字典序$s_1<s_2$，求有多少个$s_3$，使得$s_1<s_3<s_2$并且$s_3$为$s_1$的字母所组成的一个排列。

思路：
  首先统计$s_1$串有哪些字母，每个字母出现了多少次，并用一个num数组保存下来。这样我们起码知道s3由哪些字母构成。然后想到可以先算字典序比$s_1$小的字符串的数目，再算出字典序比$s_2$小的字符串的数目，那么这两个结果一减，就是答案了。
  第一种数目比较好求，直接求出$s_1$是它本身排列的第几位即可。而$s_3$由于不是由$s_1$转换而成的就有点不好办，于是想到可以将$s_3$转换成$s_1$字母构成的某种形式，再利用相同的方法求。
  在求本身排列是第几位的过程中，用$i$遍历$0$到$len$，依次求出：从当前位比较结果来看，有多少串字典序小于$s_1$。然后对于每个i，求出当前位的结果（这里用到了排列组合知识+一个小优化）。最后相加得到答案。

（公式懒得写了..这个编辑器有点不太会用。话说，还是要多敲题，这题思路虽然出来了，敲得贼慢…）

代码：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define LL long long

using namespace std;
const int maxn = 1000010;
const LL mod = 1e9 + 7;

bool s2_smaller, s2_bigger;
int num[30], sum[30];
char s1[maxn], s2[maxn];
LL fac[maxn], inv_fac[maxn];

LL pow(LL a, LL b) {
    LL ret = 1;
    while(b) {
        if(b&1)
            ret = ret * a % mod;
        a = a * a % mod;
        b >>= 1;
    }
    return ret;
}

void pre_treat(int len) {
    fac[0] = inv_fac[0] = 1;
    for(int i=1; i<=len; i++) {
        fac[i] = (LL)i * fac[i-1] % mod;
        inv_fac[i] = pow((LL)fac[i], mod-2);
    }
}

void init(int len) {
    for(int i=0; i<len; i++)
        num[s1[i]-'a'] ++;
    sum[0] = num[0];
    for(int i=1; i<26; i++)
        sum[i] = sum[i-1] + num[i];
}

void transform_s2(int len) {
    init(len);
    for(int i=0; i<len; i++) {
        int alpha = s2[i] - 'a';
        if(!s2_smaller && !s2_bigger) {
            if(num[alpha])
                num[alpha] --;
            else {
                for(int j=alpha-1; j>=0; j--) if(num[j]) {
                    s2_smaller = true; //puts("small");
                    s2[i] = j + 'a'; num[j] --;
                    break ;
                }
                if(s2_smaller) continue ;
                for(int j=alpha+1; j<26; j++) if(num[j]) {
                    s2_bigger = true; //puts("big");
                    s2[i] = j + 'a'; num[j] --;
                    break ;
                }
                if(s2_bigger) continue ;
            }
        }
        else if(s2_smaller) {
            for(int j=25; j>=0; j--) if(num[j]) {
                s2[i] = j + 'a'; num[j] --;
                break ;
            }
        }
        else {//s2_bigger
            for(int j=0; j<26; j++) if(num[j]) {
                s2[i] = j + 'a'; num[j] --;
                break ;
            }
        }
    }
}

LL solve(char *s, int len) {
    init(len);
    LL ret = 0;
    for(int i=0; i<len; i++) {
        int alpha = s[i] - 'a';
        if(alpha > 0 && sum[alpha-1] > 0) {
            LL t1 = fac[len-i-1], t2 = 0;
            for(int j=0; j<26; j++) if(num[j]) {
                t1 = t1 * inv_fac[num[j]] % mod;
                if(j < alpha)
                    t2 = (t2 + num[j]) % mod;
            }
            ret = (ret + t1 * t2 % mod) % mod;
        }
        //printf("------i:%d ret:%I64d\n",i,ret);
        num[alpha] --;
        for(int j=alpha; j<26; j++)
            sum[j] --;
    }
    return ret;
}

int main() {
    //freopen("test.txt","r",stdin);
    s2_smaller = s2_bigger = false;
    scanf("%s%s",s1,s2);
    int len = strlen(s1);
    pre_treat(len);
    transform_s2(len);
    LL l = solve(s1, len), r = solve(s2, len);
    //printf("l:%I64d r:%I64d\n",l,r);
    LL ans = (r - l + mod) % mod;
    if(!s2_smaller && !s2_bigger)
        ans = (ans - 1 + mod) % mod;
    else if(s2_smaller)
        ans = ans;
    else
        ans = (ans - 1 + mod) % mod;
    printf("%I64d\n",ans);
    return 0;
}