HDU 4529 状态压缩DP

最新推荐文章于 2019-12-18 20:07:00 发布

原创最新推荐文章于 2019-12-18 20:07:00 发布 · 376 阅读

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#压缩 #八皇后 #dp

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本文介绍了一种使用状态压缩动态规划解决骑士在棋盘上合法摆放的问题的方法。问题要求在已放置皇后的棋盘上，再放置若干骑士使得它们之间不会互相攻击，文章详细阐述了解决该问题的算法实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

状态压缩DP

题意：

Problem Description

　　郑厂长不是正厂长
　　也不是副厂长
　　他根本就不是厂长
　　还是那个腾讯公司的码农
　　一个业余时间喜欢下棋的码农
　　最近，郑厂长对八皇后问题很感兴趣，拿着国际象棋研究了好几天，终于研究透了。兴奋之余，坐在棋盘前的他又开始无聊了。无意间，他看见眼前的棋盘上只摆了八个皇后，感觉空荡荡的，恰好又发现身边还有几个骑士，于是，他想把这些骑士也摆到棋盘上去，当然棋盘上的一个位置只能放一个棋子。因为受八皇后问题的影响，他希望自己把这些骑士摆上去之后，也要满足每2个骑士之间不能相互攻击。
　　现在郑厂长想知道共有多少种摆法，你能帮助他吗？
骑士的下法：
　　每步棋先横走或直走一格，然后再往外斜走一格；或者先斜走一格，最后再往外横走或竖走一格（即走“日”字）。可以越子，没有”中国象棋”的”蹩马腿”限制。

Input

输入第一行为一个整数T(1<=T<=8)，表示有T组测试数据；
每组数据首先是一个整数N(1<=n<=10)，表示要摆N个骑士上去；
接下来是一个8 $*$ 8的矩阵来描述一个棋盘，’.’表示这个位置是空的， $’*’$ 表示这个位置上已经放了皇后了；
数据中的初始棋盘保证是一个合法的八皇后摆法。

Output

对每组数据，请在一行内输出一个整数，表示合法的方案数。

Sample Input
2
1
*.......
....*...
.......*
.....*..
..*.....
......*.
.*......
...*....
2
*.......
....*...
.......*
.....*..
..*.....
......*.
.*......
...*....
Sample Output
56
1409

思路：

就像前一个郑厂长系列一样，棋盘的状态需要压缩。不同的是这里不是求出最多放几个马，而是给出马的数量问有多少种在限制条件下放的可能数。显然之前的三维已经无法满足这个状态，需要增加一维马的数量去遍历每一行的所有状态。

定义： $dp[r][number][i][j]$ 为0~r行一共放置了number个马满足的所有情况，第r行状态为i，r-1行状态为j。

当算到第r行状态为i的时候要加上r-1行所有的满足的状态j的个数，便是所有此状态情况，然后遍历第r行状态，最后求和既可。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>

using namespace std;

const int maxn = 260;

int num[maxn],pos;
int map[10];
int dp[8][12][maxn][maxn];

void init()
{
    memset(dp,0,sizeof(dp));
    memset(map,0,sizeof(map));
}

void state_num()
{
    pos = 0;
    for(int i = 0;i < (1<<8); i++) {
        int k = i;
        int number = 0;
        while(k) {
            if(k&1) number++;
            k >>= 1;
        }
        num[pos++] = number;
    }
}

int main()
{
//    freopen("in.txt","r",stdin);

    int tt;
    scanf("%d",&tt);
    state_num();
    while(tt--) {
        init();
        int k;
        scanf("%d",&k);
        getchar();
        for(int i = 0;i < 8; i++) {
            for(int j = 0;j < 8; j++){
                char c;
                scanf("%c",&c);
                if(c == '*') {
                    map[i] += (1<<j);
                }
            }
            getchar();
        }
        for(int i = 0;i < pos; i++) {
            if(i&map[0]) continue;
            if(num[i] > k) continue;
            dp[0][num[i]][i][0] = 1;
        }
        for(int number = 0;number <= k; number++) {
            for(int i = 0;i < pos; i++) {
                if(i&map[1]) continue;
                if(num[i] > number) continue;
                for(int j = 0;j < pos; j++) {
                    if(j&map[0]) continue;
                    if((i<<2)&j || (i>>2)&j) continue;
                    dp[1][number][i][j] += dp[0][number-num[i]][j][0];
                }
            }
        }
        for(int r = 2;r < 8; r++) {
            for(int number = 0;number <= k; number++) {
                for(int i = 0;i < pos; i++) {
                    if(i&map[r]) continue;
                    if(num[i] > number) continue;
                    for(int j = 0;j < pos; j++) {
                        if(j&map[r-1]) continue;
                        if((i<<2)&j || (i>>2)&j) continue;
                        for(int t = 0;t < pos; t++) {
                            if(t&map[r-2]) continue;
                            if((i<<1)&t || (i>>1)&t) continue;
                            if((j<<2)&t || (j>>2)&t) continue;
                            dp[r][number][i][j] += dp[r-1][number-num[i]][j][t];
                        }
                    }
                }
            }
        }
        int ans = 0;
        for(int i = 0;i < pos; i++) {
            for(int j = 0;j < pos; j++) {
                ans += dp[7][k][i][j];
            }
        }
        printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}