树与二叉树（一）

1.树的基本概念

1.1 树的定义

首先，树是一个集合，是一个有限集合，是N个结点的有限集合（N >= 0）。
当N = 0时，这种情况比较特殊，称为“空树”。

任何非空树（N > 0）应满足：
1)有且只有一个根结点。
2)N>1时，其余结点可分为m（m > 0）个互不相交的有限集合，其中每个集合本身又是一棵树，称为根结点的子树。

由以上两点可知，树是一种递归的数据结构。

树作为一种逻辑结构（非线性），同时也是一种分层结构（层次关系），有两个特点：
1)根结点无前驱结点，除根节点所有结点有且只有一个前驱结点。
2)所有结点可以有 0 个或多个后继节点。

得到一个结论：n 个结点的树中有 n-1 条边。

1.2 一些基本术语

1)祖先结点和子孙结点相对、双亲结点和孩子结点相对、兄弟结点（双亲相同）。
结论：根是唯一无双亲结点。

2)结点的度：一个结点的子结点个数。
树的度：N 个结点中结点的最大度数。

3)分支结点：度 > 0 的结点（非终端）。叶子结点：度为 0 的结点（终端）。
结论：分支结点的分支数就是该结点的度。

4)结点的层次：从树根开始定义，根结点为第 1 层，它的子结点为第 2 层，以此类推。
结点的深度：从根结点自顶向下逐层累加。
结点的高度：从叶结点自底向上逐层累加。
树的高度（深度）：N 个结点中结点的最大层数。

5)有序树：结点子树从左到右存在次序，不能交换。反之则为无序树。

6)路径：两个结点之间经过的结点序列构成了两个结点间的路径。
路径长度：路径上经过的边的个数。

7)森林：m（m >= 0）棵互不相交的树的集合。（森林与树的相互转化，加或删独立子树根结点）。

1.3 树的重要性质

1)树中结点数 = 所有结点度数 + 1。
2)度为 m 的树中第 i 层上至多有 m^(i - 1) 个结点（i >= 0）。
3)高度为 h 的 m 叉树至多有 (m^h - 1) / (m - 1) 个结点。
4)具有 n 个结点的 m 叉树的最小高度为 ┎ log(m) (n (m - 1) + 1) ┒。（即当前树尽可能为满树）。

1.4 一些重要结论

1)对于树的高度来说，分两种情况：
至多：每一层结点尽可能少，即每一层一个结点（除最后一层）
至少：每一层都为最大的结点（除最后一层），也就是所谓的尽可能满树。

2)树根到每个结点的路径的最大值应该是树的高度减 1 。

3)树结点和度的关系：
总结点数 = N(0) + N(1) + N(2) +… + N(M)；
总分支数 = 1 * N(1) + 2 * N(2) + … + m * N(M)；
总结点数 = 总分支数 + 1。