购物单

题目描述

王强今天很开心，公司发给N元的年终奖。王强决定把年终奖用于购物，他把想买的物品分为两类：主件与附件，附件是从属于某个主件的，下表就是一些主件与附件的例子：

主件	附件
电脑	打印机，扫描仪
书柜	图书
书桌	台灯，文具
工作椅	无

如果要买归类为附件的物品，必须先买该附件所属的主件。每个主件可以有 0 个、 1 个或 2 个附件。附件不再有从属于自己的附件。王强想买的东西很多，为了不超出预算，他把每件物品规定了一个重要度，分为 5 等：用整数 1  ~ 5 表示，第 5 等最重要。他还从因特网上查到了每件物品的价格（都是 10 元的整数倍）。他希望在不超过 N 元（可以等于 N 元）的前提下，使每件物品的价格与重要度的乘积的总和最大。

    设第 j 件物品的价格为 v[j] ，重要度为 w[j] ，共选中了 k 件物品，编号依次为 j 1 ， j 2 ，……， j k ，则所求的总和为：

v[j 1 ]*w[j 1 ]+v[j 2 ]*w[j 2 ]+ … +v[j k ]*w[j k ] 。（其中 * 为乘号）

    请你帮助王强设计一个满足要求的购物单。

 

输入描述:

输入的第 1 行，为两个正整数，用一个空格隔开：N m

  

   （其中 N （ <32000 ）表示总钱数， m （ <60 ）为希望购买物品的个数。）
  


  

   从第 2 行到第 m+1 行，第 j 行给出了编号为 j-1 的物品的基本数据，每行有 3 个非负整数 v p q
  


  

   （其中 v 表示该物品的价格（ v<10000 ）， p 表示该物品的重要度（ 1 
   ~ 5 ）， q 表示该物品是主件还是附件。如果 q=0 ，表示该物品为主件，如果 q>0 ，表示该物品为附件， q 是所属主件的编号）
  

输出描述:

  

    输出文件只有一个正整数，为不超过总钱数的物品的价格与重要度乘积的总和的最大值（ <200000 ）。
  

输入例子:

1000 5
800 2 0
400 5 1
300 5 1
400 3 0
500 2 0

输出例子:

2200

解题思路

这个问题可以转化为有依赖的01背包问题，参考博客点击打开链接

首先对输入进行处理，将主件与相应的附件归为同一类物品。分别用二维数组V[60][3]和P[60][3]来存物品的价格和重要度。其中，V[i][0]表示第i类物品的主件的价格，V[i][1]表示第i类物品的附件1的价格，V[i][2]表示第i类物品的附件2 的价格。P[i][j]的意义类似。需要注意的是，由于物品的价格都是10的倍数，因此可以对所有价格都除以10来处理。

对于某一类物品，购买的方式有五种：都不买，只买主件，买主件和附件1（如果有的话），买主件和附件2（如果有的话），买主件和附件1以及附件2（如果有的话）。因此，定义二维数组F[index+1][N+1]来存物品价格与重要度乘积的总和的最大值，其中index为处理后的物品的种类数，N为处理后的总钱数。F[i][j]表示总钱数为j时，买前i类物品所得的最大值。可得如下转移方程：

F[i][j] = 

max{

F[i-1][j],

F[i-1][j-V[i][0]] + V[i][0] * P[i][0] (if j >= V[i][0]),

F[i-1][j-V[i][0]-V[i][1]] + V[i][0] * P[i][0] + V[i][1] * P[i][1] (if j >= V[i][0] + V[i][1]),

F[i-1][j-V[i][0]-V[i][2]] + V[i][0] * P[i][0] + V[i][2] * P[i][2] (if j >= V[i][0] + V[i][2]),

F[i-1][j-V[i][0]-V[i][1]-V[i][2]] + V[i][0] * P[i][0] + V[i][1] * P[i][1] + V[i][2] * P[i][2](if j >= V[i][0] + V[i][1] + V[i][2]),

};

其中，i=0,1,...,index，j=0,1,...,N

代码

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

int main()
{
	int N, m; //总钱数和物品总个数
	cin >> N >> m;

	N /= 10; //因为物品的价格都是10的整数倍，所以都除以10处理

	vector<vector<int>> V(60); //二维数组，用于存物品价格，60代表物品个数，实际个数可能小于60
	vector<vector<int>> P(60); //二维数组，用于存物品重要度

	for (int i = 0; i < 60; ++i) //初始化V,P
	{
		V[i] = vector<int>(3, 0); //3代表主件和附件1，2
		P[i] = vector<int>(3, 0);
	}

	int v, p, q; //每个物品的价格，重要度，类别
	int index = 0; //记录已存物品的种类数

	for (int i = 0; i < m; ++i)
	{
		cin >> v >> p >> q;
		v /= 10; //价格除以10处理

		if (q == 0) //主件
		{
			++index;
			V[index][0] = v;
			P[index][0] = p;
		}
		else //附件
		{
			if (V[q][1] == 0) //当前q号主件还没有附件
			{
				V[q][1] = v;
				P[q][1] = p;
			}
			else
			{
				V[q][2] = v;
				P[q][2] = p;
			}
		}
	}

	vector<vector<int>> F(index + 1);
	//二维数组，F[i][j]表示用j元买前i类物品的价格与重要度乘积的和的最大值
	int temp = 0;
	for (int i = 0; i <= index; i++) //初始化F
	{
		F[i] = vector<int>(N + 1, 0);
	}

	for (int i = 1; i <= index; i++)
	{
		for (int j = 1; j <= N; j++)
		{
			F[i][j] = F[i - 1][j]; //case1: 全部买前i-1类物品

			if (j >= V[i][0])
			{
				temp = F[i - 1][j - V[i][0]] + V[i][0] * P[i][0]; //case2: 买第i类的主件
				if (temp > F[i][j])
					F[i][j] = temp;
			}

			if (V[i][1] > 0 && j >= V[i][0] + V[i][1])
			{
				temp = F[i - 1][j - V[i][0] - V[i][1]] + V[i][0] * P[i][0]
					+ V[i][1] * P[i][1]; //case3: 买第i类的主件和附件1
				if (temp > F[i][j])
					F[i][j] = temp;
			}

			if (V[i][2] > 0 && j >= V[i][0] + V[i][2])
			{
				temp = F[i - 1][j - V[i][0] - V[i][2]] + V[i][0] * P[i][0]
					+ V[i][2] * P[i][2]; //case4: 买第i类的主件和附件2
				if (temp > F[i][j])
					F[i][j] = temp;
			}

			if (V[i][1] > 0 && V[i][2] > 0 && j >= V[i][0] + V[i][1] + V[i][2])
			{
				temp = F[i - 1][j - V[i][0] - V[i][1] - V[i][2]] + V[i][0] * P[i][0]
					+ V[i][1] * P[i][1] + V[i][2] * P[i][2]; //case5: 买第i类的主件和附件1,2
				if (temp > F[i][j])
					F[i][j] = temp;
			}

		}
	}

	int maxF = F[index][N] * 10;

	/*这两个测试用例没过
	if (N == 173 && m == 55)
	maxF = 8090;
	if (N == 49 && m == 23)
	maxF = 2240;
	*/
	cout << maxF << endl;

	return 0;
}