关于电子锁问题的推理

推理内容，来自于同学网上下的ppt

某机要部门安装了电子锁。M个工作人员每人发一张磁卡，卡上有开锁的密码特征。为了确保安全，规定至少要有N(<=M)个人同时使用各自的磁卡才能将锁打开，并且任意N个人在一起都能将锁打开
电子锁上至少要有多少种特征? 每个人的磁卡至少要有几个特征?

分析：

任意N-1个人在一起，都无法将锁打开，从而必然缺少一种开锁的密码特征A；并且在其余的M-(N-1)个人中，任意一人加入到N-1个人中，他们就能将锁打开
结论1: 每M-(N-1)个人拥有一个共同的特征

设一个N-1人组G所缺少的特征为M(G)
结论: 任两个不同的G的M(G)都不同
反证法. 设M(G1)=M(G2)=M. 显然G1∪G2至少包含N个人且他们都缺少特征M，故这些人在一起无法将锁打开，矛盾
一共有C(M, N-1)个N-1人组, 因此
结论2: 总特征数tot >= C(M, N-1)

对于每一个工作人员T来说, 在其余M-1个人中任选N-1个人在一起都会因为缺少某种特征而无法开锁，而这缺少的特征必须是T所具备的
由于这些缺少的特征各不相同, 所以T的磁卡上至少需要有C(M-1,N-1)个特征
构造法: 枚举M人选M-(N-1)人的组合, 给它们赋于一个新的共同的特征
合法性: 对于每N-1个人, 不具备剩下M-(N-1)拥有的公共特征, 因此打不开门; 由于这N-1个人具备其他所有特征(其他特征在分配时至少分配到了这N-1个人中的一个), 所以随便再找一个就可以打开门
最优性: 由结论2, 这个方案是最优的