关于背包dp的思考

这篇文章是本人学习背包dp的阶段性总结，涵盖了本人的心路历程和思考：

总结一：枚举的方式及本质。

考虑状压dp。

当n比较小时(n <= 128)，忽略是否合法，完全可以用一串二进制数字表示选择方案。

如：

当n = 7时，0001101即可表示选择了第1，3，4件物品(从右开始)。

而由于多数情况下，n > 128，导致使用状压会超过c/c++的最大范围__int128，即不能使用状压。

但这种枚举的思想，却是奠定了记忆化搜索的基础。

总结二：背包dp自记忆化搜索而生。

初学背包dp时，最先接触的一定是最经典的01背包：

记忆化搜索：运用递归的性质，枚举每一个物品，达到枚举所有情况，不重复不遗漏，并在枚举的过程中不断保留或更新所需值。

虽是递归面貌，实则线性本质。

总结三：背包dp是线性dp。

把n件物品按照从1到n排序，枚举i = [1,n]，枚举从第1件到第i件共i件物品所有的合法情况，本题中指总体积不超过给定容积V，从而得到一级情况。

由于给定容积V所限，再对当前已装有总体积，枚举j = [V,0]，枚举当前总体积为j时，对上述的一级情况进行分类，得到二级情况。

由于枚举的j = [V,0]，所得到的二级情况，一定是合法且不重复不遗漏。

再对二级情况根据有无第i件物品，进行分类，得到三级情况。

由于三级情况全部来自于二级情况，而二级情况又全部合法，因此，所得到的三级情况，一定是合法且不遗漏不重复。

令maxv为一级情况(i)：二级情况(j)的最值，那么maxv = max{三级情况} = max(三级情况：含第i件，三级情况：不含第i件) = max(max{三级情况：含第i件}，max{三级情况：不含第i件})。

ps：上一段中的三级情况指一级情况(i)：二级情况(j)：三级情况，因过长而省略为三级情况。

那么maxv即为：[1,i]共i件物品，其所有的合法情况中，总体积为j时的最大价值。

三级情况：含第i件 = 一级情况(i - 1)：二级情况(j - w[i]) + 第i件物品

三级情况：不含第i件 = 一级情况(i - 1)：二级情况(j - w[i])

假设已知：max{一级情况(i - 1)：二级情况}

maxv = max(max:一级情况(i - 1)：二级情况(j)，max：一级情况(i - 1)：二级情况(j - c[i]) + w[i])

正如：