【机器学习】LR多分类推广 - Softmax回归整理

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原创最新推荐文章于 2026-09-03 15:07:08 发布 3.7k 阅读 AI 写同款· GEO 优化 ›

【机器学习】LR回归（逻辑回归）和softmax回归 LR回归（逻辑回归）和softmax回归1. LR回归Logistic回归的函数形式Logistic回归的损失函数Logistic回归的梯度下降法Logistic回归防止过拟合Multinomial Logistic Regression2. Softmax回归 1. LR回归 Logistic回归（Logistic Regression，简称LR）是一种常用的处理二类分类问题的模型在二分类问题中，把因变量y可能属于的两个类分别称为负类和正类，则因变量y∈{0, 1}，其中0表示负类，1表示正类。线性回归阅读详情

1.softmax

在机器学习尤其是深度学习中，softmax是个非常常用而且比较重要的函数，尤其在多分类的场景中使用广泛。他把一些输入映射为0-1之间的实数，并且归一化保证和为1，因此多分类的概率之和也刚好为1。
首先我们简单来看看softmax是什么意思。顾名思义，softmax由两个单词组成，其中一个是max。对于max我们都很熟悉，比如有两个变量a,b。如果a>b，则max为a，反之为b。用伪码简单描述一下就是 if a > b return a; else b。
另外一个单词为soft。max存在的一个问题是什么呢？如果将max看成一个分类问题，就是非黑即白，最后的输出是一个确定的变量。更多的时候，我们希望输出的是取到某个分类的概率，或者说，我们希望分值大的那一项被经常取到，而分值较小的那一项也有一定的概率偶尔被取到，所以我们就应用到了soft的概念，即最后的输出是每个分类被取到的概率。
2.softmax的定义

首先给一个图，这个图比较清晰地告诉大家softmax是怎么计算的。

上面的结果表示，我们只需要正想求出yi

，将结果减1就是反向更新的梯度，导数的计算是不是非常简单！

4.softmax VS k个二元分类器

如果你在开发一个音乐分类的应用，需要对k种类型的音乐进行识别，那么是选择使用 softmax 分类器呢，还是使用 logistic 回归算法建立 k 个独立的二元分类器呢？
这一选择取决于你的类别之间是否互斥，例如，如果你有四个类别的音乐，分别为：古典音乐、乡村音乐、摇滚乐和爵士乐，那么你可以假设每个训练样本只会被打上一个标签（即：一首歌只能属于这四种音乐类型的其中一种），此时你应该使用类别数 k = 4 的softmax回归。（如果在你的数据集中，有的歌曲不属于以上四类的其中任何一类，那么你可以添加一个“其他类”，并将类别数 k 设为5。）
如果你的四个类别如下：人声音乐、舞曲、影视原声、流行歌曲，那么这些类别之间并不是互斥的。例如：一首歌曲可以来源于影视原声，同时也包含人声。这种情况下，使用4个二分类的 logistic 回归分类器更为合适。这样，对于每个新的音乐作品，我们的算法可以分别判断它是否属于各个类别。
现在我们来看一个计算视觉领域的例子，你的任务是将图像分到三个不同类别中。(i) 假设这三个类别分别是：室内场景、户外城区场景、户外荒野场景。你会使用sofmax回归还是 3个logistic 回归分类器呢？ (ii) 现在假设这三个类别分别是室内场景、黑白图片、包含人物的图片，你又会选择 softmax 回归还是多个 logistic 回归分类器呢？
在第一个例子中，三个类别是互斥的，因此更适于选择softmax回归分类器。而在第二个例子中，建立三个独立的 logistic回归分类器更加合适。

LR多分类推广 - Softmax回归

LR是一个传统的二分类模型，它也可以用于多分类任务，其基本思想是：将多分类任务拆分成若干个二分类任务，然后对每个二分类任务训练一个模型，最后将多个模型的结果进行集成以获得最终的分类结果。一般来说，可以采取的拆分策略有：

one vs one策略

　　假设我们有N个类别，该策略基本思想就是不同类别两两之间训练一个分类器，这时我们一共会训练出种不同的分类器。在预测时，我们将样本提交给所有的分类器，一共会获得N(N-1)个结果，最终结果通过投票产生。

one vs all策略

　　该策略基本思想就是将第i种类型的所有样本作为正例，将剩下的所有样本作为负例，进行训练得到一个分类器。这样我们就一共可以得到N个分类器。在预测时，我们将样本提交给所有的分类器，一共会获得N个结果，我们选择其中概率值最大的那个作为最终分类结果。

softmax回归

　　softmax是LR在多分类的推广。与LR一样，同属于广义线性模型。什么是Softmax函数？假设我们有一个数组A，表示的是数组A中的第i个元素，那么这个元素的Softmax值就是

也就是说，是该元素的指数，与所有元素指数和的比值。那么 softmax回归模型的假设函数又是怎么样的呢？

由上式很明显可以得出，假设函数的分母其实就是对概率分布进行了归一化，使得所有类别的概率之和为1；也可以看出LR其实就是K=2时的Softmax。在参数获得上，我们可以采用one vs all策略获得K个不同的训练数据集进行训练，进而针对每一类别都会得到一组参数向量。当测试样本特征向量输入时，我们先用假设函数针对每一个类别估算出概率值。因此我们的假设函数将要输出一个K维的向量（向量元素和为1）来表示K个类别的估计概率，我们选择其中得分最大的类别作为该输入的预测类别。Softmax看起来和one vs all 的LR很像，它们最大的不同在与Softmax得到的K个类别的得分和为1，而one vs all的LR并不是。