机器学习（五）支持向量机

温蒂公主的侍卫

于 2022-01-01 22:45:48 发布

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分类专栏：机器学习文章标签：支持向量机机器学习算法

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/Scracs/article/details/122271419

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本文详细介绍了支持向量机（SVM）的概念，包括最大间隔、SMO算法及其优化，以及核函数在处理复杂数据时的作用。通过实例展示了SVM如何解决非线性分类问题，并提供了算法实现及实验总结。

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支持向量机

1.支持向量机概述
2. 寻找最大间隔
3. 简化版 SMO 算法
4.利用完整 Platt SMO 算法加速优化
5.在复杂数据上应用核函数
6.SVM实现
7. 实验小结

1.支持向量机概述

对于理解支持向量机的问题，我们必须了解支持向量是什么？
支持向量（support vector）就是离分隔超平面最近的那些点。
那么问题又来了，什么叫做分隔超平面？
如下图所示是四个线性不可分的数据集：
在这里插入图片描述
观察四个方框中的数据点分布，能否画出一条直线将圆形点和方形点分开呢？答案是可以的。
那么，上述将数据集分隔开来的直线称为分隔超平面（separating hyperplane）。
在这种情况下，这组数据被称为线性可分（linearly separable）数据。

2. 寻找最大间隔

如何求解数据集的最佳分隔直线？
分隔超平面的形式可以写成在这里插入图片描述。
要计算点A到分隔超平面的距离，就必须给出点到分隔面的法线或垂线的长度，该值为。

最大化间隔的目标就是找出分类器定义中的w和b。为此，我们必须找到具有最小间隔的数据点，而这些数据点也就是前面提到的支持向量。一旦找到具有最小间隔的数据点，我们就需要对该间隔最大化。这就可以写作：
在这里插入图片描述，直接求解上述问题相当困难，所以我们将它转换成为另一种更容易求解的形式。。
其约束条件为：

其中常数C 用于控制 “最大化间隔” 和 “保证大部分点的函数间隔小于1.0” 这两个目标的权重。在优化算法的实现代码中，常数C 是一个参数，因此可以通过调节该参数得到不同的结果。一旦求出了所有的alpha，那么分隔超平面就可以通过这些alpha 来表达。

SVM的一般流程
(1) 收集数据：可以使用任意方法。
(2) 准备数据：需要数值型数据。
(3) 分析数据：有助于可视化分隔超平面。
(4) 训练算法：SVM的大部分时间都源自训练，该过程主要实现两个参数的调优。
(5) 测试算法：十分简单的计算过程就可以实现。
(6) 使用算法：几乎所有分类问题都可以使用SVM，值得一提的是，SVM本身是一个二类分类器，对多类问题应用SVM需要对代码做一些修改。

3. 简化版 SMO 算法

简化版SMO算法，省略了确定要优化的最佳alpha 对的步骤，而是首先在数据集上进行遍历每一个alpha，再在剩余的数据集中找到另外一个alpha，构成要优化的alpha 对，同时对其进行优化，这里的同时是要确保公式：在这里插入图片描述
由于改变一个alpha可能会导致该约束条件失效，因此我们总是同时改变两个alpha。
代码：

# -*- coding:UTF-8 -*-
from time import sleep
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import random
import types

def loadDataSet(fileName):
    dataMat = []; labelMat = []
    fr = open(fileName)
    for line in fr.readlines():                                     #逐行读取，滤除空格等
        lineArr = line.strip().split('\t')
        dataMat.append([float(lineArr[0]), float(lineArr[1])])      #添加数据
        labelMat.append(float(lineArr[2]))                          #添加标签
    return dataMat,labelMat

def selectJrand(i, m):
    j = i                                 #选择一个不等于i的j
    while (j == i):
        j = int(random.uniform(0, m))
    return j

def clipAlpha(aj,H,L):
    if aj > H:
        aj = H
    if L > aj:
        aj = L
    return aj

def smoSimple(dataMatIn, classLabels, C, toler, maxIter):
    #转换为numpy的mat存储
    dataMatrix = np.mat(dataMatIn); labelMat = np.mat(classLabels).transpose()
    #初始化b参数，统计dataMatrix的维度
    b = 0; m,n = np.shape(dataMatrix)
    #初始化alpha参数，设为0
    alphas = np.mat(np.zeros((m,1)))
    #初始化迭代次数
    iter_num = 0
    #最多迭代matIter次
    while (iter_num < maxIter):
        alphaPairsChanged = 0
        for i in range(m):
            #步骤1：计算误差Ei
            fXi = float(np.multiply(alphas,labelMat).T*(dataMatrix*dataMatrix[i,:].T)) + b
            Ei = fXi - float(labelMat[i])
            #优化alpha，更设定一定的容错率。
            if ((labelMat[i]*Ei < -toler) and (alphas[i] < C)) or ((labelMat[i]*Ei > toler) and (alphas[i] > 0)):
                #随机选择另一个与alpha_i成对优化的alpha_j
                j = selectJrand(i,m)
                #步骤1：计算误差Ej
                fXj = float(np.multiply(alphas,labelMat).T*(dataMatrix*dataMatrix[j,:].T)) + b
                Ej = fXj - float(labelMat[j])
                #保存更新前的aplpha值，使用深拷贝
                alphaIold = alphas[i].copy(); alphaJold = alphas[j].copy();
                #步骤2：计算上下界L和H
                if (labelMat[i] != labelMat[j]):
                    L = max(0, alphas[j] - alphas[i])
                    H = min(C, C + alphas[j] - alphas[i])
                else:
                    L = max(0, alphas[j] + alphas[i] - C)
                    H = min(C, alphas[j] + alphas[i])
                if L==H: print("L==H"); continue
                #步骤3：计算eta
                eta = 2.0 * dataMatrix[i,:]*dataMatrix[j,:].T - dataMatrix[i,:]*dataMatrix[i,:].T - dataMatrix[j,:]*dataMatrix[j,:].T
                if eta >= 0: print("eta>=0"); continue
                #步骤4：更新alpha_j
                alphas[j] -= labelMat[j]*(Ei - Ej)/eta
                #步骤5：修剪alpha_j
                alphas[j] = clipAlpha(alphas[j],H,L)
                if (abs(alphas[j] - alphaJold) < 0.00001): print("alpha_j变化太小"); continue
                #步骤6：更新alpha_i
                alphas[i] += labelMat[j]*labelMat[i]*(alphaJold - alphas[j])
                #步骤7：更新b_1和b_2
                b1 = b - Ei- labelMat[i]*(alphas[i]-alphaIold)*dataMatrix[i,:]*dataMatrix[i,:].T - labelMat[j]*(alphas[j]-alphaJold)*dataMatrix[i,:]*dataMatrix[j,:].T
                b2 = b - Ej- labelMat[i]*(alphas[i]-alphaIold)*dataMatrix[i,:]*dataMatrix[j,:].T - labelMat[j]*(alphas[j]-alphaJold)*dataMatrix[j,:]*dataMatrix[j,:].T
                #步骤8：根据b_1和b_2更新b
                if (0 < alphas[i]) and (C > alphas[i]): b = b1
                elif (0 < alphas[j]) and (C > alphas[j]): b = b2
                else: b = (b1 + b2)/2.0
                #统计优化次数
                alphaPairsChanged += 1
                #打印统计信息
                print("第%d次迭代 样本:%d, alpha优化次数:%d" % (iter_num,i,alphaPairsChanged))
        #更新迭代次数
        if (alphaPairsChanged == 0): iter_num += 1
        else: iter_num = 0
        print("迭代次数: %d" % iter_num)
    return b,alphas
def showClassifer(dataMat, w, b):
    #绘制样本点
    data_plus = []                                  #正样本
    data_minus = []                                 #负样本
    for i in range(len(dataMat)):
        if labelMat[i] > 0:
            data_plus.append(dataMat[i])
        else:
            data_minus.append(dataMat[i])
    data_plus_np = np.array(data_plus)              #转换为numpy矩阵
    data_minus_np = np.array(data_minus)            #转换为numpy矩阵
    plt.scatter(np.transpose(data_plus_np)[0], np.transpose(data_plus_np)[1], s=30, alpha=0.7)   #正样本散点图
    plt.scatter(np.transpose(data_minus_np)[0], np.transpose(data_minus_np)[1], s=30, alpha=0.7) #负样本散点图
    x1 = max(dataMat)[0]
    x2 = min(dataMat)[0]
    a1, a2 = w
    b = float(b)
    a1 = float(a1[0])
    a2 = float(a2[0])
    y1, y2 = (-b- a1*x1)/a2, (-b - a1*x2)/a2
    plt.plot([x1, x2], [y1, y2])
    for i, alpha in enumerate(alphas):
        if abs(alpha) > 0:
            x, y = dataMat[i]
            plt.scatter([x], [y], s=150, c='none', alpha=0.7, linewidth=1.5, edgecolor='red')
    plt.show()
def get_w(dataMat, labelMat, alphas):
    alphas, dataMat, labelMat = np.array(alphas), np.array(dataMat), np.array(labelMat)
    w = np.dot((np.tile(labelMat.reshape(1, -1).T, (1, 2)) * dataMat).T, alphas)
    return w.tolist()
if __name__ == '__main__':
    dataMat, labelMat = loadDataSet('D:\\迅雷下载\\machinelearninginaction\\Ch06\\testSet.txt')
    b,alphas = smoSimple(dataMat, labelMat, 0.6, 0.001, 40)
    w = get_w(dataMat, labelMat, alphas)
    showClassifer(dataMat, w, b)