代码随想录第四十一天

内容：

1. 整数拆分(343)
2. 不同的二叉搜索树(96)

1. 整数拆分

难度：🔥🔥🔥🔥

建议：今天两题都挺有难度，建议大家思考一下没思路，直接看题解，第一次做，硬想很难想出来

1.1 思路分析

这里我们继续按照递归五部曲来分析。

1.确定dp数组以及下标的含义

​ dp[i]表示 拆分i，可以得到的最大乘积

2.确定递推公式

​ 这里我们的基本想法是将这个数拆成两个整数j与i - j，两者的乘积为j * (i - j)，那么如果是两个以上的整数相乘呢？我们用dp[i - j] * j来实现，这里的j是我们for循环从1开始遍历的拆分的第一个数，而dp[i - j]是什么意思呢？这里我们就需要去回顾dp数组的含义，dp[i - j]表示拆分i - j得到的最大乘积，如此我们就可以得到拆分i的乘积的可能情况

3.dp的初始化

​ 只初始化dp[2] = 1

4.确定遍历顺序

​ 根据递推公式我们可以知道是先有dp[i - j]再有dp[i]的，所以遍历顺序也是从前往后

5.举例推导dp数组

如图：

1.2 代码实现

class Solution {
    public int integerBreak(int n) {
        //dp[i] 表示 正整数 i 对应的最大乘积
        int[] dp = new int[n + 1];
        dp[2] = 1;
        for(int i = 3;i <= n;i++){
            //注意for循环的终止条件，小于或小于等于皆可以
            for(int j = 1;j < i;j++){
                dp[i] = Math.max(dp[i],Math.max(j * (i - j),dp[i - j] * j));
            }
        }
        return dp[n];
    }
}

1.3 注意事项

• 第二个for循环的中止条件为j < i或是j <= i

1.4 收获总结

---

2. 不同的二叉搜索树

难度：🔥🔥🔥🔥

建议：今天两题都挺有难度，建议大家思考一下没思路，直接看题解，第一次做，硬想很难想出来

2.1 思路分析

这道题目思路是比较难想出来的。

我们可以尝试去画图找一找规律，如图：

n = 1和n = 3分别有一颗、两颗树

而n = 3时的结构与n = 2十分相似，那么我们可不可通过dp[2] + dp[1]来推导dp[3]呢？答案是肯定的。

dp[3]，就是 元素1为头结点搜索树的数量 + 元素2为头结点搜索树的数量 + 元素3为头结点搜索树的数量

元素1为头结点搜索树的数量 = 右子树有2个元素的搜索树数量 * 左子树有0个元素的搜索树数量

元素2为头结点搜索树的数量 = 右子树有1个元素的搜索树数量 * 左子树有1个元素的搜索树数量

元素3为头结点搜索树的数量 = 右子树有0个元素的搜索树数量 * 左子树有2个元素的搜索树数量

有2个元素的搜索树数量就是dp[2]

有1个元素的搜索树数量就是dp[1]

有0个元素的搜索树数量就是dp[0]

所以dp[3] = dp[2] * dp[0] + dp[1] * dp[1] + dp[0] * dp[2]

由此，我们得到递推公式dp[i] += dp[j - 1] + dp[i - j]

核心代码如下：

for (int i = 1; i <= n; i++) {
    for (int j = 1; j <= i; j++) {
        dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j];
    }
}

2.2 代码实现

class Solution {
    public int numTrees(int n) {
         int[] dp = new int[n + 1];
         dp[0] = 1;
         for(int i = 1;i <= n;i++){
             for(int j = 1;j <= i;j++){
                 dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j];
             }
         }
         return dp[n];
    }
}

2.3 注意事项

2.4 收获总结

• 求递推公式时，要多举例找关系，可以想一想当前的dp[i]可不可以由前面的得到，同时要时刻结合dp[i]本身的含义寻找关系