代码随想录第五十天| 图论理论基础

图论理论基础

这篇我们将正式开始学习图论！
在代码随想录中，图论相关的算法题目将统一使用ACM模式。为什么要使用ACM模式呢？

图的基本概念

在二维坐标中，两点可以连成线，多个点连成的线就构成了图。
当然，图也可以仅有一个节点，甚至没有节点（即为空图）。

图的种类

整体上，图一般分为有向图和无向图。

• 有向图是指图中的边是有方向的。
  - 无向图是指图中的边没有方向。
  

此外，还有加权有向图和加权无向图，即图中边是有权值的。

度

• 在无向图中，一个节点的度是指有几条边连接该节点。
  

例如，在下面的无向图中，节点4的度为5，节点6的度为3。

• 在有向图中，每个节点有出度和入度。
  • 出度：从该节点出发的边的个数。
  • 入度：指向该节点的边的个数。
    例如，在下面的有向图中，节点3的入度为2，出度为1；节点1的入度为0，出度为2。
    

连通性

在图中表示节点的连通情况，我们称之为连通性。

连通图

在无向图中，如果任何两个节点都是可以到达的，我们称之为连通图。

如果有节点不能到达其他节点，则为非连通图。

强连通图

在有向图中，如果任何两个节点是可以相互到达的，我们称之为强连通图。

连通分量

在无向图中，极大连通子图称之为该图的一个连通分量。
例如，在下面的无向图中，节点1、节点2、节点5构成的子图是该无向图的一个连通分量。
同理，节点3、节点4、节点6构成的子图也是该无向图的一个连通分量。

强连通分量

在有向图中，极大强连通子图称之为该图的强连通分量。

图的构造

我们如何用代码来表示一个图呢？一般使用邻接表、邻接矩阵或者用类来表示。

邻接矩阵

邻接矩阵使用二维数组来表示图结构。其优点是表达方式简单，易于理解，检查任意两个顶点间是否存在边的操作非常快，适合稠密图。缺点是遇到稀疏图，会导致申请过大的二维数组造成空间浪费，且遍历边的时候需要遍历整个n*n矩阵，造成时间浪费。

邻接表

邻接表使用数组+链表的方式来表示。其优点是对于稀疏图的存储，只需要存储边，空间利用率高，遍历节点连接情况相对容易。缺点是检查任意两个节点间是否存在边，效率相对低，需要O(V)时间，V表示某节点连接其他节点的数量，且实现相对复杂，不易理解。

图的遍历方式

图的遍历方式基本是两大类：

• 深度优先搜索（dfs）
• 广度优先搜索（bfs）
  在讲解二叉树章节的时候，其实就已经讲过这两种遍历方式。二叉树的递归遍历是dfs在二叉树上的遍历方式，而二叉树的层序遍历是bfs在二叉树上的遍历方式。
  dfs和bfs是一种搜索算法，可以在不同的数据结构上进行搜索。在二叉树章节里是在二叉树这样的数据结构上搜索。而在图论章节，则是在图（邻接表或邻接矩阵）上进行搜索。

深度优先搜索理论基础

dfs 与 bfs 区别

提到深度优先搜索（dfs），就不得不说和广度优先搜索（bfs）有什么区别。
先来了解dfs的过程，很多录友可能对dfs（深度优先搜索），bfs（广度优先搜索）分不清。
先给大家说一下两者大概的区别：

• dfs是可一个方向去搜，不到黄河不回头，直到遇到绝境了，搜不下去了，再换方向（换方向的过程就涉及到了回溯）。
• bfs是先把本节点所连接的所有节点遍历一遍，走到下一个节点的时候，再把连接节点的所有节点遍历一遍，搜索方向更像是广度，四面八方的搜索过程。
  当然以上讲的是，大体可以这么理解，接下来我们详细讲解dfs，（bfs在用单独一篇文章详细讲解）

dfs 搜索过程

上面说道dfs是可一个方向搜，不到黄河不回头。那么我们来举一个例子。
如图一，是一个无向图，我们要搜索从节点1到节点6的所有路径。

那么dfs搜索的第一条路径是这样的：（假设第一次延默认方向，就找到了节点6），

此时我们找到了节点6，（遇到黄河了，是不是应该回头了），那么应该再去搜索其他方向了。如图三：

路径2撤销了，改变了方向，走路径3（红色线），接着也找到终点6。那么撤销路径2，改为路径3，在dfs中其实就是回溯的过程（这一点很重要，很多录友不理解dfs代码中回溯是用来干什么的）
又找到了一条从节点1到节点6的路径，又到黄河了，此时再回头，下图图四中，路径4撤销（回溯的过程），改为路径5。

又找到了一条从节点1到节点6的路径，又到黄河了，此时再回头，下图图五，路径6撤销（回溯的过程），改为路径7，路径8和路径7，路径9，结果发现死路一条，都走到了自己走过的节点。

那么节点2所连接路径和节点3所链接的路径都走过了，撤销路径只能向上回退，去选择撤销当初节点4的选择，也就是撤销路径5，改为路径10。如图图六：

上图演示中，其实我并没有把所有的从节点1到节点6的dfs（深度优先搜索）的过程都画出来，那样太冗余了，但已经把dfs关键的地方都涉及到了，关键就两点：

• 搜索方向，是认准一个方向搜，直到碰壁之后再换方向
• 换方向是撤销原路径，改为节点链接的下一个路径，回溯的过程。

代码框架

正是因为dfs搜索可一个方向，并需要回溯，所以用递归的方式来实现是最方便的。
很多录友对回溯很陌生，建议先看看代码随想录，回溯算法章节。
有递归的地方就有回溯，那么回溯在哪里呢？
就递归函数的下面，例如如下代码：

void dfs(参数) {
   
   
    处理节点
    dfs(图，选择的节点); // 递归
    回溯，撤销处理结果
}

可以看到回溯操作就在递归函数的下面，递归和回溯是相辅相成的。
在讲解二叉树章节的时候，二叉树的递归法其实就是dfs，而二叉树的迭代法，就是bfs（广度优先搜索）
所以dfs，bfs其实是基础搜索算法，也广泛应用与其他数据结构与算法中。
我们在回顾一下回溯法的代码框架：

void backtracking(参数) {
   
   
    if (终止条件) {
   
   
        存放结果;
        return;
    }
    for (选择：本层集合中元素（树中节点孩子的数量就是集合的大小）) {
   
   
        处理节点;
        backtracking(路径，选择列表); // 递归
        回溯，撤销处理结果
    }
}

回溯算法，其实就是dfs的过程，这里给出dfs的代码框架：

void dfs(参数) {
   
   
    if (终止条件) {
   
   
        存放结果;
        return;
    }
    for (选择：本节点所连接的其他节点) {
   
   
        处理节点;
        dfs(图，选择的节点); // 递归
        回溯，撤销处理结果
    }
}

可以发现dfs的代码框架和回溯算法的代码框架是差不多的。
下面我用深搜三部曲，来解读dfs的代码框架。

深搜三部曲

在二叉树递归讲解中，给出了递归三部曲。
回溯算法讲解中，给出了回溯三部曲。
其实深搜也是一样的，深搜三部曲如下：

确认递归函数，参数

void dfs(参数)

通常我们递归的时候，我们递归搜索需要了解哪些参数，其实也可以在写递归函数的时候，发现需要什么参数，再去补充就可以。
一般情况，深搜需要二维数组数组结构保存所有路径，需要一维数组保存单一路径，这种保存结果的数组，我们可以定义一个全局变量，避免让我们的函数参数过多。
例如这样：

vector<vector<int>> result; // 保存符合条件的所有路径
vector<int> path; // 起点到终点的路径
void dfs (图，目前搜索的节点)  

但这种写法看个人习惯，不强求。

确认终止条件

终止条件很重要，很多同学写dfs的时候，之所以容易死循环，栈溢出等等这些问题，都是因为终止条件没有想清楚。

if (终止条件) {
   
   
    存放结果;
    return