快速幂算法

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#算法

于 2022-03-20 14:51:57 首次发布

本文详细介绍了快速幂算法，对比了暴力求解的局限性，如时间复杂度过高和数值溢出问题。通过优化算法，将时间复杂度降低到O(log b)，显著提升了计算效率。快速幂算法利用位运算，巧妙地处理了指数为奇数和偶数的情况，避免了重复计算，适用于大规模数值的快速运算。

问题： 快速求 $a^b$

暴力法(累乘法)：

long pow_(int a,int b){
    long long result=1;
    for(long long i=1;i<=b;++i){
         result*=a;
    }
   return result;
}

算法时间复杂度：O(b),数据越大，消耗时间越多，而且容易超出long long的范围，无法满足太大的运算。

优化算法——快速幂算法：

我们考虑一下 $3^{10}$ 怎么实现的： $3^{10}$ = $(3^{2})^{5}$ = $9^5$ = $9^4$ ×9= $(9^2)^{2}$ ×9。

我们发现：1.如果指数是偶数，直接将底数平方，指数除以2。

2.如果指数是奇数，底数平方，指数整除2，再乘以底数。

long long Fast_Pow(long long a, long long b) {
	long long result = 1;
	while (b) {
		if (b & 1) {      /*位运算可以提升性能，相当于b/%2==1,判断是否为奇数*/      
			result *= a; /*奇数的二进制最后一位肯定是1*/
		}
		a *= a;         /*此处奇数偶数有相同步骤，合在一起*/
		b>>=1;	       /*位运算，相当于b=b/2*/
	} 
	return result;
}

时间复杂度是： $O(log_{2}b)$ 级别，可以看到算法的时间复杂度有了很大提升。