理解泰勒展开的一种角度

我们可以用一个多项式函数去逼近一个连续可导的函数，泰勒展开就是求这样一个多项式函数。
用一个函数去逼近一个函数，函数是一系列值，不是单个值，如果是单个值，那么很简单的直接让其相等即可，但是若是一系列值，且是连续可导的，自然的，除了让逼近的函数和原函数在某处的值相等以外，还需要让其变化趋势也一样，这样才是更好的逼近。
变化趋势的含义就是导数，且是任意阶导数，因此我们要使得逼近函数和原函数在某处的任意阶导数相等，这样才是最好的逼近。
进一步发现，如果在某处的任意阶导数相等，那么实际上逼近函数和原函数在该处的邻域应该是完全重合相等的，即存在一个delta使得在该点距离delta的邻域内，所有点和原函数重合，不然就一定存在某阶导数不想等。这算是一个引理，你细品。其实直观上理解，动态看，函数的值由初始值和变化所决定，初始值就是展开点的函数值，这个我们很容易保证，而宽泛的变化这个概念，其实就是由任意阶导数所全部涵盖的，因此，只要保证展开处的函数值和任意阶导数相等，那么在展开处的一定存在一个邻域使得逼近函数和原函数完全重合。
接下来，由于原函数是在任意点都是连续可导的，这个条件使得，只要逼近函数和原函数存在重合的邻域，那么必然整个函数都必须完全重合。这也算一个引理，但其实很好理解，我们假设这个重合的邻域在某处右侧分离，那么因为左侧完全重合，所以逼近函数的任意阶导数和原函数的任意阶导数在相同阶数下是相等的，但是在右侧，由于发生了分离，那么必然存在某阶(设为m阶)是不相等的，由于逼近函数就是多项式函数，所以肯定在任意点都是任意阶可导的，因此在m阶，原函数的左侧导数和逼近函数相等，逼近函数的左右两侧导数都相等，但是原函数的右侧导数和逼近函数的右侧不相等，所以原函数在m阶左右导数不等，自然就违背了连续可导假设。
至此，我们得到泰勒展开的多项式函数和原函数是相等的。