三阶幻方

小明最近在教邻居家的小朋友小学奥数,而最近正好讲述到了三阶幻方这个部分。
三阶幻方指的是将1~9不重复的填入一个3*3的矩阵当中,使得每一行、每一列和每一条对角线的和都是相同的。
三阶幻方又被称作九宫格,在小学奥数里有一句非常有名的口诀:
“二四为肩,六八为足,左三右七,戴九履一,五居其中”,
通过这样的一句口诀就能够非常完美的构造出一个九宫格来。
4 9 2
3 5 7
8 1 6
有意思的是,所有的三阶幻方,都可以通过这样一个九宫格进行若干镜像和旋转操作之后得到。
现在小明准备将一个三阶幻方(不一定是上图中的那个)中的一些数抹掉,交给邻居家的小朋友来进行还原,并且希望她能够判断出究竟是不是只有一个解。

而你呢,也被小明交付了同样的任务,但是不同的是,你需要写一个程序~


输入格式:
输入仅包含单组测试数据。
每组测试数据为一个3*3的矩阵,其中为0的部分表示被小明抹去的部分。
对于100%的数据,满足给出的矩阵至少能还原出一组可行的三阶幻方。


输出格式:
如果仅能还原出一组可行的三阶幻方,则将其输出,否则输出“Too Many”(不包含引号)。


样例输入
0 7 2
0 5 0
0 3 0


样例输出
6 7 2
1 5 9

8 3 4


这道题。如果用常规的算法思路会写很多代码的。

因为三幻方无论如何变化都是 

4 9 2
3 5 7

8 1 6

的旋转和镜像   一共有   8种。

使用枚举,把8种全部枚举出来。

使用一个字符串代表一个矩阵。方便判断

import java.io.*;


import java.math.*;
import java.util.*;	

public class Main {
	

/*
4 9 2            -->>>镜像   2 9 4
3 5 7					   7 5 3
8 1 6                      6 1 8
"492357816"              "294753618"

8 3 4
1 5 9
6 7 2
"834159672"

6 1 8
7 5 3
2 9 4
"618753294"

2 7 6
9 5 1
4 3 8
"276951438"

4 9 2
3 5 7
8 1 6
"492357816"


0 7 2
0 5 0
0 3 0

*/
	
	public static void main(String[] args) {
		String[] ss = {
				"492357816",
				"294753618",
				"834159672",
				"438951276",
				"618753294",
				"816357492",
				"276951438",
				"672159834"
		};
		Scanner input = new Scanner(System.in);
		String in ="";
		for(int i=0;i<9;i++){
			in += input.next();
		}
		for(int i=0;i<ss.length;i++){
			if(checks(ss[i],in)){
				
				System.out.println(ss[i].substring(0,3));
				System.out.println(ss[i].substring(3,6));
				System.out.println(ss[i].substring(6,9));
			}
		}
		
	}
	
	public static boolean checks(String std,String s){
		for(int i=0;i<std.length();i++){
			if(std.charAt(i)==s.charAt(i))continue;
			if(s.charAt(i)=='0')continue;
			return false;
		}
		return true;
	}
	
}

三阶幻方是一个 3×3 的矩阵,其中每行、每列以及两条对角线上的数字之和都相等,这个相等的和通常被称为幻和。在 NOJ 平台上解决三阶幻方问题,可通过不同的方法实现。 ### 方法一:暴力枚举法 此方法会生成所有可能的 3×3 矩阵排列,然后逐一检查每行、每列和两条对角线上的数字之和是否相等。下面是用 Python 实现的代码示例: ```python from itertools import permutations # 生成 1 到 9 的所有排列 numbers = list(range(1, 10)) perms = permutations(numbers) for perm in perms: # 将排列转换为 3x3 矩阵 matrix = [perm[i:i+3] for i in range(0, 9, 3)] # 计算幻和 magic_sum = sum(matrix[0]) # 检查行和列的和 row_sums = [sum(row) for row in matrix] col_sums = [sum([matrix[i][j] for i in range(3)]) for j in range(3)] # 检查对角线的和 diag1_sum = sum([matrix[i][i] for i in range(3)]) diag2_sum = sum([matrix[i][2-i] for i in range(3)]) # 检查是否满足幻方条件 if all([sum_ == magic_sum for sum_ in row_sums + col_sums + [diag1_sum, diag2_sum]]): for row in matrix: print(" ".join(map(str, row))) break ``` ### 方法二:数学构造法 三阶幻方有固定的数学构造方法,其中心数字为 5,偶数在四个角,奇数在四条边的中间位置。以下是使用 Python 实现的代码示例: ```python # 构造三阶幻方 magic_square = [ [2, 7, 6], [9, 5, 1], [4, 3, 8] ] # 输出幻方 for row in magic_square: print(" ".join(map(str, row))) ``` ### 代码解释 - **暴力枚举法**:生成 1 到 9 的所有排列,将每个排列转换为 3×3 矩阵,计算每行、每列和两条对角线上的数字之和,若都相等则输出该矩阵。 - **数学构造法**:依据三阶幻方的数学特性,直接构造出三阶幻方矩阵并输出。 ### 复杂度分析 - **暴力枚举法**:时间复杂度为 $O(n!)$,其中 $n = 9$,因为要生成所有可能的排列。空间复杂度为 $O(1)$,仅使用了常数级的额外空间。 - **数学构造法**:时间复杂度为 $O(1)$,因为直接构造幻方,不涉及复杂的计算。空间复杂度同样为 $O(1)$。
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