末尾0的个数

末尾0的个数

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来源:牛客网

时间限制:1秒 空间限制:32768K

输入一个正整数n,求n!(即阶乘)末尾有多少个0? 比如: n = 10; n! = 3628800,所以答案为2 
输入描述:

输入为一行,n(1 ≤ n ≤ 1000)

输出描述:

输出一个整数,即题目所求

示例1 
输入

10

输出

2

解题思路,暴力解决的话很容易出现最大值溢出,但是java考虑到有BigInteger类可以尝试

	public static void main(String[] args) {
		// TODO Auto-generated method stub
		Scanner input = new Scanner(System.in);
		int len = input.nextInt();
		BigInteger num = BigInteger.ONE;
		
		for(int i=1;i<=len;i++){
			num =num.multiply(BigInteger.valueOf(i));
		}
		String num1 = num.toString();
		int count=0;
		for(int i=num1.length()-1;i>=1;i--){
			if(num1.charAt(i)=='0'){
				count ++;
			}else{
				break;
			}
		}
		System.out.println(count);
		
	}
结果出来了但是运算量巨大

这个时候可以考虑(等价转化复杂问题)
首先考虑末尾0的位数:
1. 首先只有当 2*5或者 4*5或者 8*5 会出现0得出结论 :偶数乘以5时会产生0
2. 阶乘 1*2*3*4*5=120 有一个0
1*2*3*4*5*6*7*8*9*10=3628800有2个0
1*2*3*4*5*6*7*8*9*10*11*12*13*14*15=1307674368000有3个零
1*2*3*4*5*6*7*8*9*10 可以看成 1*2*3*4*5*6*7*8*9*2*5
1*2*3*4*5*6*7*8*9*10*11*12*13*14*15 可以看成 1*2*3*4*5*6*7*8*9*2*5*11*12*13*14*3*5
.......
3. 一个数一旦变成偶数无论怎么相乘都不可能变成奇数,阶乘在遇见第一个5的时候就已经变成偶数了
4.一个偶数每乘一个5,尾数的零就会多一,求尾数零的个数就变成了求阶乘中 5 出现的次数。

5. 25=5*5、75=5*5*3、125=5*5*5  注意这些数可以拆分成多个5

	public static void main(String[] args) {
		// TODO Auto-generated method stub
		Scanner input = new Scanner(System.in);
		int len = input.nextInt();
		
		int count=0;
		int num;
		for(int i=1;i<=len;i++){
			num = i;
			while(num%5==0){//如果是5的倍数那么 尝试拆分
				count++;
				num=num/5;
			}
		}
		System.out.println(count);
		
	}




### 计算阶乘结果中末尾零的数量 计算阶乘结果中末尾零的数量是一个经典算法问题。这个问题的核心在于理解阶乘的结果中,末尾的零是由因子 `2` 和 `5` 的配对产生的。由于在任何阶乘中,因子 `2` 总是多于因子 `5`,因此只需要统计阶乘分解质因数后有多少个因子 `5` 即可。 #### 统计因子 `5` 的数量 为了得到阶乘结果中末尾零的数量,可以采用如下方法: 对于给定的一个正整数 \( n \),可以通过不断除以 `5` 来统计其倍数贡献的因子 `5` 数量。具体公式为: \[ \text{zero\_count} = \left\lfloor \frac{n}{5} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{n}{5^2} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{n}{5^3} \right\rfloor + \cdots \] 直到 \( 5^k > n \) 为止[^1]。 这种方法的时间复杂度为 \( O(\log_5(n)) \),非常高效。 #### 实现代码示例 (Python) 以下是基于上述公式的 Python 实现代码: ```python def count_trailing_zeros_in_factorial(n): zero_count = 0 i = 5 while n >= i: zero_count += n // i i *= 5 return zero_count # 测试函数 print(count_trailing_zeros_in_factorial(10)) # 输出应为 2 ``` 此代码通过循环逐步增加幂次的方式,有效地统计了所有可能的因子 `5` 贡献次数。 #### C# 实现代码示例 如果需要使用 C# 编程语言,则可以根据相同的逻辑编写对应的实现代码: ```csharp using System; class Program { static int CountTrailingZerosInFactorial(int n) { int zeroCount = 0; int i = 5; while (n / i >= 1) { zeroCount += n / i; i *= 5; } return zeroCount; } static void Main() { Console.WriteLine(CountTrailingZerosInFactorial(10)); // 输出应为 2 } } ``` 这段代码同样遵循了统计因子 `5` 的核心思路,并提供了完整的功能实现[^2]。 --- ### 结论 无论是 Java、C# 还是其他编程语言,解决该问题的关键都在于理解和应用统计因子 `5` 的方法。这种高效的解决方案能够快速得出任意大小输入下的阶乘结果中末尾零的数量。
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