【ybt】【基算 递推 课过 例1】错排问题

错排问题

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题目描述

解题思路

这道题是一道入门级（个鬼）的递推。
设 $f_n$ 为 $n$ 个数的合法排列。

我们将第 $n$ 个数放在第 $k$ 个位置上，则有 $n-1$ 中放法（$n!=k$）。

余下的元素有两种情况：

• 将 $k$ 放在 $n$ 上，则剩下的元素为 $n-2$ 的错排，即 $f_{n-2}$。
• 将 $k$ 放在非 $n$ 的位置上，则包括 $k$ 在内剩下的元素为 $n-1$ 的错排，即 $f_{n-1}$。

因为我们是在确定 $n$ 的位置之后再考虑 $k$ 的情况，所以 $n$ 的情况和 $k$ 的情况满足乘法原理。

因为 $k$ 放 $n$ 与不放 $n$ 是两种不同的情况，所以这两种情况满足加法原理。

得递推式为：$$f_n=(n+1)(f_{n-1}+f_{n-2})$$
其中 $f_1=0$，$f_2=1$。

code

#include<iostream>
#include<cstdio>
#define int long long
using namespace std;

int n;
int f[30];

signed main()
{
	cin>>n;
	f[1]=0,f[2]=1;
	for(int i=3;i<=n;i++)
		f[i]=(i-1)*(f[i-1]+f[i-2]);
	cout<<f[n]<<endl;
}