【luogu_P3390】【模板】矩阵快速幂

最新推荐文章于 2024-10-25 17:33:50 发布

原创最新推荐文章于 2024-10-25 17:33:50 发布 · 123 阅读

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本文介绍了一种利用矩阵快速幂解决特定类型问题的方法。该方法通过构建特定矩阵并利用快速幂算法高效计算大指数下的矩阵乘积，进而求解相关数学序列问题。

【模板】矩阵快速幂

题目链接：【模板】矩阵快速幂

解题思路

这就是一道模板题，题目都很清楚的说了这是快速幂。
其实和快速幂差不多，不过有一个地方要注意
快速幂中 $a n s$ 一般赋值为 $1$ ，目的是为了让 $a n s$ 在第一次运算的时候可以直接得到值。
但是在矩阵乘法时我们应该用什么来达到目的呢？
最简单的做法就是在第一次进行 $a n s$ 的运算时，特判再赋值
但是还有一个想法：
一个矩阵乘了另一个矩阵后能得到原来矩阵，这个矩阵会是什么？
如：
$\begin{vmatrix}1 & 2\\3 &4\end{vmatrix}$
我们往回退，得：
$\begin{vmatrix}1 & 0\\0 &1\end{vmatrix}$
验证一下发现也正确。

如此，快速幂即可

code

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define lzh using
#define ak namespace
#define ioi std
lzh ak ioi;

const int mod=9973;

int n;
int a[4][4];
int ans[4][4];
int t[4][4];

void add()
{
	memset(t,0,sizeof(t));
	for(int i=1;i<=3;i++)
		for(int j=1;j<=3;j++)
			for(int k=1;k<=3;k++)
				t[i][j]=(t[i][j]+ans[i][k]*a[k][j])%mod;
	for(int i=1;i<=3;i++)
		for(int j=1;j<=3;j++)
			ans[i][j]=t[i][j];
}

void cf()
{
	memset(t,0,sizeof(t));
	for(int i=1;i<=3;i++)
		for(int j=1;j<=3;j++)
			for(int k=1;k<=3;k++)
				t[i][j]=(t[i][j]+a[i][k]*a[k][j])%mod;
	for(int i=1;i<=3;i++)
		for(int j=1;j<=3;j++)
			a[i][j]=t[i][j];
}

void ksm(int b)
{
	for(int i=1;i<=3;i++)
		ans[i][i]=1;
	while(b)
	{
		if(b&1)
			add();
		cf();
		b>>=1;
	}
}

int main()
{
	cin>>n;
	if(n<=2)
	{
		cout<<1<<endl;
		return 0;
	}
	a[1][1]=0,a[1][2]=1,a[1][3]=0;
	a[2][1]=1,a[2][2]=1,a[2][3]=0;
	a[3][1]=0,a[3][2]=1,a[3][3]=1;
	ksm(n-2);
	cout<<(ans[1][2]+ans[2][2]+ans[3][2])%mod<<endl;
}