洛谷 1181——数列分段Section I(贪心)

本文介绍了一个算法问题,即如何将一个正整数数列尽可能少地划分为若干段,每段的和不超过给定值M。文章提供了具体的输入输出格式及示例,还给出了一段实现该算法的Pascal代码。

题目描述

对于给定的一个长度为N的正整数数列A[i],现要将其分成连续的若干段,并且每段和不超过M(可以等于M),问最少能将其分成多少段使得满足要求。

输入输出格式

输入格式:
输入文件divide_a.in的第1行包含两个正整数N,M,表示了数列A[i]的长度与每段和的最大值,第2行包含N个空格隔开的非负整数A[i],如题目所述。

输出格式:
输出文件divide_a.out仅包含一个正整数,输出最少划分的段数。

输入输出样例

输入样例#1:
5 6
4 2 4 5 1
输出样例#1:
3
说明

对于20%的数据,有N≤10;

对于40%的数据,有N≤1000;

对于100%的数据,有N≤100000,M≤10^9,M大于所有数的最小值,A[i]之和不超过109。

将数列如下划分:

[4][2 4][5 1]

第一段和为4,第2段和为6,第3段和为6均满足和不超过M=6,并可以证明3是最少划分的段数。


要使分段最少,肯定要每段尽量的长,所以我们只用找到加起来小于m的最长数列


代码如下:

var a:array[1..101000] of longint;
    i,b,c,d,e,f,g:Longint;
begin
  readln(b,c);
  e:=c;
  for i:=1 to b do
  begin
    read(d);
    if e+d>c then begin e:=d; inc(f); end
             else e:=e+d;
  end;
  writeln(f);
end.
洛谷平台上与数列分段相关的题目及题解如下: - **P1181 数列分段 Section I**:该题可使用贪心算法解决。定义两个变量 `cnt` 和 `sum`,分别表示当前已有的分段数和当前分段的和。初始时,`cnt` 为 1(最后一段),`sum` 为 0。遍历数列,对于每个数,如果将其加入当前分段后,分段和不超过 `m`,则将其加入当前分段中,更新 `sum` 的值;否则,将当前数新开一段,更新 `cnt` 和 `sum` 的值。最后输出 `cnt` 即可。以下是AC代码: ```cpp #include <iostream> #define AUTHOR "HEX9CF" using namespace std; const int N = 1e5 + 5; int main() { int n, m; int a[N]; int cnt, sum; cin >> n >> m; cnt = 1; // 最后一段 sum = 0; for (int i = 0; i < n; i++) { cin >> a[i]; if (sum + a[i] > m) { sum = a[i]; cnt++; } else { sum += a[i]; } } cout << cnt << endl; return 0; } ``` 证明贪心算法正确性时,可证明存在最优解包含从第 1 个数字开始的尽量长的满足加和小于等于 `m` 的子段,还可证明在前 `k` 次进行贪心选择后,最优解包含第 `k + 1` 次的贪心选择 [^1][^3]。 - **P1182 数列分段 Section II**:具体做法可参考代码,通过二分查找来确定答案。代码如下: ```cpp #include<bits/stdc++.h> #define LL long long using namespace std; int rag=0,lef=0,n,m,a[100010],mid,sum=0,gup,flag; int main() { scanf("%d%d",&n,&m); for(int i=1;i<=n;++i) { scanf("%d",&a[i]); lef=max(lef,a[i]);//求左端点 rag+=a[i];//求右端点 } while(lef<=rag)//答案合法 { mid=(lef+rag)>>1; sum=0; gup=1;//从第一组开始计数 flag=false;//确定下次答案选取位置 for(int i=1;i<=n;++i) { sum+=a[i];//当前区间和 if(sum>mid)//超过答案 { gup++;//新开一组 sum=a[i]; } if(gup>m)//区间过多,说明答案过小 { flag=true; break; } } if(flag)//答案小 { lef=mid+1; } else //答案大 { rag=mid-1; } } printf("%d",lef); return 0; } ``` 此代码通过二分查找不断缩小答案范围,直到找到满足条件的最小答案 [^2]。
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