【洛谷P1131】时态同步【树形dp】

最新推荐文章于 2024-09-20 17:51:09 发布

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本文探讨了一种针对树形结构的算法，旨在通过调整边长使特定节点到所有叶子节点的路径长度相等，以达到最小化总调整成本的目的。通过深度优先搜索(DFS)策略，算法有效地实现了这一目标，确保了所有叶子节点与指定节点之间的距离一致。

题目大意：

题目链接：https://www.luogu.org/problem/P1131
给出一棵树以及其一个特殊点，可以选择一些边似的这条边的长度加1。问要使得从特殊点到达所有叶子结点的路径长度一样最少需要增加多少。

思路：

这道题准确来说应该不算 $d p$ 吧
把这个点看做整棵树的根，那么我们就需要让所有叶子到根的距离相同。
假设点 $x$ 的子树全部满足到叶子的距离相同，那么我们需要维护使得所有叶子到 $x$ 的距离也相同，那么显然最优方案是把 $x$ 到他的子节点的距离增加。
我们设 $m a x n$ 表示节点 $x$ 与其叶子节点的最远距离。那么我们就要把它与叶子的边的距离增加至 $m a x n$ 。那么我们发现一条边的权值使用过了后就不会再使用，所以我们把边 $(x,y)|y\in son_x$ 的距离就设为节点 $y$ 至其叶子的距离。这样均摊就为 $O (n)$ 。
还是比较简单的。代码也相对较短。

代码：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;

const int N=500010;
int n,root,tot,f[N],head[N];
ll ans;

struct edge
{
	int next,to;
	ll dis;
}e[N*2];

void add(int from,int to,int dis)
{
	e[++tot].to=to;
	e[tot].dis=dis;
	e[tot].next=head[from];
	head[from]=tot;
}

ll dfs(int x,int fa)
{
	ll maxn=0;
	for (int i=head[x];~i;i=e[i].next)
	{
		int v=e[i].to;
		if (v!=fa)
		{
			e[i].dis+=dfs(v,x);
			maxn=max(maxn,(ll)e[i].dis);
		}
	}
	for (int i=head[x];~i;i=e[i].next)
		if (e[i].to!=fa) ans+=maxn-(ll)e[i].dis;
	return maxn;
}

int main()
{
	memset(head,-1,sizeof(head));
	scanf("%d%d",&n,&root);
	for (int i=1,x,y,z;i<n;i++)
	{
		scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
		add(x,y,z); add(y,x,z);
	}
	dfs(root,0);
	printf("%lld",ans);
	return 0;
}