洛谷 P4549 【模板】裴蜀定理

wineandchord

于 2020-06-27 11:02:16 发布

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分类专栏：数论/数学

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本文探讨了如何从一组整数中找到另一组整数序列，使两组数的乘积之和大于零且尽可能小。通过扩展裴蜀定理至多元情况，实现了求解最小正线性组合的目标。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

给 $n$ 个整数 $A1,…,AnA_1,\dots,A_n$ ，求另外一个 $n$ 整数序列 $X1,…,XnX_1,\dots,X_n$ ，使得 $S=∑iAi×Xi>0S=\sum_iA_i\times X_i>0$ 且 $S$ 尽可能地小。

裴蜀定理说的是方程 $a x + b y = c$ 有整数解地充要条件是 $gcd(a,b)∣c\mathrm{gcd}(a,b)\mid c$ ，这道题将变量扩展到了 $n$ 元，所以求一个 $n$ 元 $gcd\mathrm{gcd}$ 就行了。注意要把负数变成正数。

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
int n,a;
int gcd(int a,int b){
    if(!b)return a;
    return gcd(b,a%b);
}
int main(){
#ifdef WINE
    freopen("data.in","r",stdin);
#endif
    scanf("%d",&n);
    int res=0;
    while(n--){
        scanf("%d",&a);
        if(a<0)a=-a;
        res=gcd(res,a);
    }
    printf("%d\n",res);
    return 0;
}