【JZOJ5775】农夫约的假期【模拟】

题目大意：

题目链接：https://jzoj.net/senior/#main/show/5775
题目图片：
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在$n\times n$的矩形中找出一个点，使得这个点到其他标记点曼哈顿距离加上标记点的权值之和最小。

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思路：

$10$分做法：

$n\le 10$
枚举这个矩阵的每一个点，再枚举每一个标记点，求出曼哈顿距离，取最小值即可。
或者从每个标记点跑$BFS$。
时间复杂度：$O(n^4)$
10分代码

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30分做法：

$n\le 1000$
假设这个图是这样子的（黄色点是标记点）：

可以把第三行的所有点和第一行的特殊点的曼哈顿距离连一下看看。

会发现，它们向下的距离（蓝色部分）是一样的！

同理，下面的标记点也一样。

所以，任何一个特殊点到同一行的点的曼哈顿距离中经过的列数是一样的。
同理，所有的特殊点到同一列的点的曼哈顿距离中经过的行数是一样的。
那么我们设$h[i]$表示所有特殊点到这一行的点曼哈顿距离经过的列数，$l[i]$表示所有特殊点到这一列的点曼哈顿距离经过的行数。
那么我们就先初始化出每行每列的特殊点的个数，然后$O(n^2)$枚举任意两行，求出第$j$行的特殊点到第$i$行的所有点的曼哈顿距离的列数（同理也要枚举任意两列）
最后可以$O(n^2)$枚举所有点，蔬输出最小的那一个。
30分代码

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$100$分做法：

$O(n)$
考虑如何在30分的做法上优化。跳过了30分的朋友建议回去再可以下30分的做法。
我们可以发现，第$i$行的点到所有特殊点的曼哈顿距离之和是可以通过第$i-1$行的点得到的。如果能$O(1)$转换，那么就可以了。
首先，很容易发现：
$$h[i]=h[i-1]+在第i-1行上面的特殊点数量-在第i行下面的特殊点数量$$
那么如果能$O(1)$知道在任意一行上面的点的数量和下面的点的数量就可以$O(1)$转化。
所以可以求一个前缀和，$hs[i]$表示在第$i$行（含）之前的特殊点数量，那么就有
$$hs[i]=hs[i-1]+hnum[i]$$
知道了上面的特殊点数量，那么下面的特殊点数量就一目了然了。
那么就可以先$O(n)$求出第一行的点到所有特殊点的曼哈顿距离，然后就可以推出每一行到特殊点的距离。
列也同理，可以$O(n)$求出。
那么我们就做到了：

• $O(n)$求出每一行的点到所有特殊点的列的曼哈顿距离之和
• $O(n)$求出每一列的点到所有特殊点的行的曼哈顿距离之和

那么就只剩下最后一个$O(n^2)$的地方了：输出。
我们可以$O(n)$知道所有行的最小列曼哈顿距离，又可以$O(n)$知道所有列的最小曼哈顿距离，那么这两行的交点就是到所有标记点曼哈顿距离最短的点！

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代码：

#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <iostream>
#define ll long long
#define N 110000
using namespace std;

ll n,m,x,y,q,z,h[N],l[N],hnum[N],lnum[N],hs[N],ls[N],minn,sum;

int main()
{
	scanf("%lld%lld%lld",&n,&m,&z);
	for (ll i=1;i<=m;i++)
	{
		scanf("%lld%lld%lld",&x,&y,&q);
		hnum[x]++;
		lnum[y]++;  //每行每列的标记点数量
		sum+=q;
	}
	for (ll i=1;i<=n;i++)
	 hs[i]=hs[i-1]+hnum[i];
	for (ll i=1;i<=n;i++)
	 ls[i]=ls[i-1]+lnum[i];  //前缀和
	for (ll i=1;i<=n;i++)
	 h[1]+=(hnum[i]*abs(i-1)*z);
	for (ll i=1;i<=n;i++)
	 l[1]+=(lnum[i]*abs(i-1)*z);  //求出第一行第一列
	for (ll i=2;i<=n;i++)
	 h[i]=h[i-1]+hs[i-1]*z-(m-hs[i-1])*z;
	for (ll i=2;i<=n;i++)
	 l[i]=l[i-1]+ls[i-1]*z-(m-ls[i-1])*z;  //往后转移
	minn=1e16;
	for (ll i=1;i<=n;i++)
	 if (h[i]<minn)   //找最小的行
	 {
	 	minn=h[i];
	 	x=i;
	 }
	minn=1e16;
	for (ll i=1;i<=n;i++)
	 if (l[i]<minn)  //找最小的列
	 {
	 	minn=l[i];
	 	y=i;
	 }
	cout<<h[x]+l[y]+sum<<"\n"<<x<<" "<<y;
	return 0;
}