语音识别中的傅里叶变化

前言

在语音识别和话者识别中，需要将声音编码为数字信息，提取其中的特征进行处理，而最常用的语音特征便是梅尔倒谱系数MFCC。为了将频谱的包络与细节分离开来，以便分析声道共振特征和基音周期，需要把这种非线性问题转化为线性问题。MFCC预处理之后的第一步便是通过快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform）将时域信号转变为信号频谱。而快速傅里叶变换是离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform）的改进算法，将其时间复杂度从$O(n^2)$改进为$O(n\log n)$。

离散傅里叶变换 DFT

傅里叶变换能将满足一定条件的函数表示成正弦和/或余弦函数或它们的积分的线性组合。根据函数在时域的特性分别有如下几种变换：

变换	时域	频域
连续傅里叶变换	连续，非周期性	连续，非周期性
傅里叶级数	连续，周期性	离散，非周期性
离散时间傅里叶变换	离散，非周期性	连续，周期性
离散傅里叶变换	离散，周期性	离散，周期性

这四种傅立叶变换都是针对长度为无穷大的信号，但这对于计算机处理来说是不可能的。那么有没有针对长度有限的傅立叶变换呢？很遗憾没有，因为正余弦波被定义成从负无穷大到正无穷大，我们无法把一个长度无限的信号组合成长度有限的信号。
面对这种困难，解决方法是把长度有限的信号表示成长度无限的信号。例如，可以把信号无限地从左右进行延伸，延伸的部分用零来表示，这样这个信号就可以被看成是非周期性离散信号，我们可以用到离散时域傅立叶变换（DTFT）的方法。也可以把信号用复制的方法进行延伸，这样信号就变成了周期性离散信号，这时我们就可以用离散傅立叶变换方法（DFT）进行变换。
但是对于非周期性的信号，我们需要用无穷多不同频率的正弦曲线来表示，这对于计算机来说是不可能实现的。所以对于离散信号的变换只有离散傅立叶变换（DFT）才能被适用，对于计算机来说只有离散的和有限长度的数据才能被处理，其它的变换类型只有在数学演算中才能用到。

对于N点序列 { x [ n ] } 0 ≤ n ≤ N \left \{ x[n] \right \}_{0≤n≤N} { x[n]}0≤n≤N​，它的离散傅里叶变换为：

其中N表示傅里叶变换的点数，k表示傅里叶变换的第k个频谱，W称为旋转因子。通过欧拉公式进一步变换我们可以得到：

由于余弦信号也是一种相位移动的正弦信号，因此变换后的第k点的实部和虚部对应的是一个相同频率的正弦信号，只是相位不同。随着k的变换正弦信号的频率也在发生变换，因此DFT将时序信号转化成不同频率的正弦信号的叠加。
DFT也可以用矩阵表示为$X=W_{N}x$，其中：

快速傅里叶变换 FFT

快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform），是利用计算机计算离散傅里叶变换（DFT）的高效、快速计算方法，于1965年由J.W.库利和T.W.图基提出。
对于多项式$f(x)={\sum }_{i=0}^n{a}_i{x}^i$，$f(x)={\sum }_{i=0}^n{b}_i{x}^i$，定义其乘积$fg$如下：

显然，上式可以$O(n^2)$的复杂度来计算乘积每一项的系数，但FFT可以$O(n\log n)$的时间复杂度来计算这个乘积。

对于任意n次多项式$f(x)={\sum }_{i=0}^n{a}_{}$