堆排序-Java版本

堆排序：堆排序是利用堆这种数据结构而设计的一种排序算法，堆排序是一种选择排序，它的最坏，最好，平均时间复杂度均为O(nlogn)，它也是不稳定排序。首先简单了解下堆结构。

堆：堆是具有以下性质的完全二叉树：每个结点的值都大于或等于其左右孩子结点的值，称为大顶堆；或者每个结点的值都小于或等于其左右孩子结点的值，称为小顶堆。如下图：

同时，我们对堆中的结点按层进行编号，将这种逻辑结构映射到数组中就是下面这个样子

该数组从逻辑上讲就是一个堆结构，我们用简单的公式来描述一下堆的定义就是：

大顶堆：arr[i] >= arr[2i+1] && arr[i] >= arr[2i+2]

小顶堆：arr[i] <= arr[2i+1] && arr[i] <= arr[2i+2]

堆排序的基本思想及基本步骤：

堆排序基本思想及步骤

        堆排序的基本思想是：将待排序序列构造成一个大顶堆，此时，整个序列的最大值就是堆顶的根节点。将其与末尾元素进行交换，此时末尾就为最大值。然后将剩余n-1个元素重新构造成一个堆，这样会得到n个元素的次小值。如此反复执行，便能得到一个有序序列了 。

步骤一 构造初始堆。将给定无序序列构造成一个大顶堆（一般升序采用大顶堆，降序采用小顶堆)。

a.假设给定无序序列结构如下：

1.此时我们从最后一个非叶子结点开始（叶结点自然不用调整，第一个非叶子结点 arr.length/2-1=5/2-1=1，也就是下面的6结点），从左至右，从下至上进行调整。

2.找到第二个非叶节点4，由于[4,9,8]中9元素最大，4和9交换。

这时，交换导致了子根[4,5,6]结构混乱，继续调整，[4,5,6]中6最大，交换4和6。

此时，我们就将一个无需序列构造成了一个大顶堆。

步骤二 将堆顶元素与末尾元素进行交换，使末尾元素最大。然后继续调整堆，再将堆顶元素与末尾元素交换，得到第二大元素。如此反复进行交换、重建、交换。

a.将堆顶元素9和末尾元素4进行交换

b.重新调整结构，使其继续满足堆定义

c.再将堆顶元素8与末尾元素5进行交换，得到第二大元素8.

后续过程，继续进行调整，交换，如此反复进行，最终使得整个序列有序

再简单总结下堆排序的基本思路：

a.将无需序列构建成一个堆，根据升序降序需求选择大顶堆或小顶堆;

b.将堆顶元素与末尾元素交换，将最大元素"沉"到数组末端;

c.重新调整结构，使其满足堆定义，然后继续交换堆顶元素与当前末尾元素，反复执行调整+交换步骤，直到整个序列有序。

代码实现 ：

代码中主要两个方法：

1、将待排序数组构造成一个大顶堆（元素上升）

2、固定一个最大值，将剩余的数再构造成一个大根堆（元素下降）

package sort;

import java.util.Arrays;

/**
  *
  * 堆排序
 */
public class HeapSort {
    public static void main(String []args){
        int []arr = {9,8,7,6,5,4,3,2,1};
        sort(arr);
        System.out.println(Arrays.toString(arr));

    }

   public static void sort(int []arr){
      //1.构建大顶堆
      for(int i=arr.length/2-1;i>=0;i--){
        //从第一个非叶子结点从下至上，从右至左调整结构
          adjustHeap(arr,i,arr.length);

      }
      //2.调整堆结构+交换堆顶元素与末尾元素
      for(int j=arr.length-1;j>0;j--){
         swap(arr,0,j);//将堆顶元素与末尾元素进行交换
         adjustHeap(arr,0,j);//重新对堆进行调
      }
   }

/**
  * 调整大顶堆（仅是调整过程，建立在大顶堆已构建的基础上）
  * @param arr
  * @param i
  * @param length
  */
  public static void adjustHeap(int []arr,int i,int length){
         int temp = arr[i];//先取出当前元素i
          for (int k = 2 * i; k < len; k *= 2) {// 沿关键字较大的孩子结点向下筛选
            if (k < len && arr[k] < a[k + 1]){
                ++k; // k为关键字中较大记录的下标
            }
            if(arr[k] >temp){//如果子节点大于父节点，将子节点值赋给父节点（不用进行交换）
                arr[i] = arr[k];
                    (i=k;)
            }else{
              break;
            }
          }
          arr[i] = temp;//将temp值放到最终的位置
   }

/**
  * 交换元素
  * @param arr
  * @param a
  * @param b
  */
 public static void swap(int []arr,int a ,int b){
     int temp=arr[a];
     arr[a] = arr[b];
     arr[b] = temp;
  }

}

 性能分析

• 调堆：上面已经分析了，调堆的运行时间为O(h)。
• 建堆：每一层最多的节点个数为n1 = ceil(n/(2^(h+1))),

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因此，建堆的运行时间是O(n)。

• 循环调堆，因为需要调堆的是堆顶元素，所以运行时间是O(h) = O(floor(logn))。所以循环调堆的运行时间为O(nlogn)。

总运行时间T(n) = O(nlogn) + O(n) = O(nlogn)。对于堆排序的最好情况与最坏情况的运行时间，因为最坏与最好的输入都只是影响建堆的运行时间O(1)或者O(n)，而在总体时间中占重要比例的是循环调堆的过程，即O(nlogn) + O(1) =O(nlogn) + O(n) = O(nlogn)。因此最好或者最坏情况下，堆排序的运行时间都是O(nlogn)。而且堆排序还是原地算法（in-place algorithm）。