Fibonacci 通项公式

最新推荐文章于 2017-10-18 16:05:36 发布

划过天空的海鸥

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本文详细介绍了如何通过递推关系求解斐波那契数列的通项公式，利用数学方法逐步推导出公式，并给出具体解。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

斐波那契数列：1、1、2、3、5、8、13、21、……
把斐波那契数列化成函数式,即

已知a1=1,a2=1,an=a(n-1)+a(n-2)(n>=3),求数列{an}的通项公式

设常数r，s
       使得F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]
       则r+s=1， -rs=1
       n≥3时，有
      F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]
      F(n-1)-r*F(n-2)=s*[F(n-2)-r*F(n-3)]
      F(n-2)-r*F(n-3)=s*[F(n-3)-r*F(n-4)]
      ……
      F(3)-r*F(2)=s*[F(2)-r*F(1)]
      将以上n-2个式子相乘，得：
      F(n)-r*F(n-1)=[s^(n-2)]*[F(2)-r*F(1)]
      ∵s=1-r，F(1)=F(2)=1
     上式可化简得：
      F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1)
      那么：
      F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1)= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*F(n-2)= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) + r^3*F(n-3)……= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1)*F(1)= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1)(这是一个以s^(n-1)为首项、以r^(n-1)为末项、r/s为公比的等比数列各项的和)=[s^(n-1)-r^(n-1)*r/s]/(1-r/s)=(s^n - r^n)/(s-r)
       r+s=1， -rs=1的一解为 s=(1+√5)/2，r=(1-√5)/2
       则F(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}