矩阵的幂

本文详细解析了矩阵快速幂算法的实现过程,包括输入矩阵、计算矩阵的k次幂,并展示了具体的代码实现。通过示例说明了如何进行矩阵乘法运算,以及如何迭代计算矩阵的幂次方。

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题目描述

给定一个n*n的矩阵,求该矩阵的k次幂,即P^k。

输入描述:

 
第一行:两个整数n(2<=n<=10)、k(1<=k<=5),两个数字之间用一个空格隔开,含义如上所示。
接下来有n行,每行n个正整数,其中,第i行第j个整数表示矩阵中第i行第j列的矩阵元素Pij且(0<=Pij<=10)。另外,数据保证最后结果不会超过10^8。

输出描述:

对于每组测试数据,输出其结果。格式为:
n行n列个整数,每行数之间用空格隔开,注意,每行最后一个数后面不应该有多余的空格。

示例1

输入

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2 2
9 8
9 3

输出

复制

153 96
108 81
#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;
int a[11][11],b[11][11],c[11][11], n, k;
void Matrix_mult(int a[11][11], int b[11][11] )
{
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        for(int j = 1; j <= n; j++)
        {
            c[i][j] = 0;
            for(int k = 1; k <= n; k++)
            {
                c[i][j] += a[i][k] * b[k][j];
            }
        }
    }

    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        for(int j = 1; j <= n; j++)
        {
            a[i][j] = c[i][j];
        }
    }
}
int main()
{

    scanf("%d%d", &n, &k);
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        for(int j = 1; j <= n; j++)
        scanf("%d", &a[i][j]),b[i][j] = a[i][j];
    
    for(int i = 2; i <= k; i++)
        Matrix_mult(a, b);
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        for(int j = 1; j < n; j++)
        {
            printf("%d ", a[i][j]);
        }
        printf("%d\n",a[i][n]);
    }
    return 0;
}

 

### 矩阵运算的实现方法 矩阵运算是指对一个给定的 \( n \times n \) 的矩阵 \( A \),计算其 \( k \)-次的结果,即 \( A^k \)。这种操作可以通过多种方式实现,其中最高效的算法之一是 **矩阵快速**。 #### 1. 原理概述 矩阵快速的核心思想来源于普通的快速算法,它通过分治的思想减少不必要的重复计算。具体来说,对于任意正整数 \( k \),可以将其分解为二进制形式,并基于此构建递推关系来高效完成矩阵的计算[^2]。 #### 2. 实现步骤解析 以下是 Python 中实现矩阵快速的一个典型例子: ```python def matrix_power(matrix, power, mod=None): """ 计算矩阵次 :param matrix: 输入矩阵 (二维列表) :param power: 指数 :param mod: 取模数值(可选) :return: 结果矩阵 """ size = len(matrix) result = [[int(i == j) for j in range(size)] for i in range(size)] # 初始化单位矩阵 while power > 0: if power & 1: # 如果当前位为1,则将结果与base相乘 result = multiply_matrices(result, matrix, mod) matrix = multiply_matrices(matrix, matrix, mod) # 更新基底矩阵 power >>= 1 # 移动到下一位 return result def multiply_matrices(a, b, mod=None): """ 矩阵乘法函数 :param a: 左侧矩阵 :param b: 右侧矩阵 :param mod: 取模数值(可选) :return: 相乘后的矩阵 """ rows_a, cols_b = len(a), len(b[0]) res = [[0 for _ in range(cols_b)] for __ in range(rows_a)] for i in range(rows_a): for j in range(cols_b): temp_sum = 0 for p in range(len(a[0])): temp_sum += a[i][p] * b[p][j] if mod is not None: res[i][j] = temp_sum % mod else: res[i][j] = temp_sum return res ``` 上述代码中定义了两个主要功能: - `matrix_power` 函数实现了矩阵快速逻辑; - `multiply_matrices` 是辅助函数,负责执行两矩阵之间的乘法并支持取模操作[^3]。 #### 3. 时间复杂度分析 假设输入矩阵大小为 \( n \times n \),则单次矩阵乘法的时间复杂度为 \( O(n^3) \)[^4]。由于快速减少了总的乘法次数至约 \( O(\log k) \),因此整体时间复杂度约为 \( O(n^3 \cdot \log k) \)。 --- ###
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